隔板法

现在有${\displaystyle 10}$个球，要放进${\displaystyle 3}$个盒子里

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隔${\displaystyle 2}$个板子，把${\displaystyle 10}$个球被隔开成${\displaystyle 3}$个部份

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如此类推，${\displaystyle 10}$个球放进${\displaystyle 3}$个盒子的方法总数为${\displaystyle {\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36}$

${\displaystyle n}$个球放进${\displaystyle k}$个盒子的方法总数为${\displaystyle {\binom {n-1}{k-1}}}$

问题等价于求${\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n}$的可行解数，其中${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}}$为正整数。

现在有${\displaystyle 10}$个球，要放进${\displaystyle 3}$个盒子里，并允许空盒子。考虑${\displaystyle 10+3}$个球的情况：

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每个盒子的球都被拿走一个，得到一种情况，如此类推：

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${\displaystyle n}$个球放进${\displaystyle k}$个盒子的方法总数（允许空盒子），等同於${\displaystyle n+k}$个球放进${\displaystyle k}$个盒子的方法总数（不允许空盒子），即${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}}$[2]

问题等价于求${\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n}$的可行解数，其中${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}}$为非负整数。

${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}}$也是${\displaystyle (a_{1}+a_{2}+...+a_{k})^{n}}$展开式的项数${\displaystyle \sum _{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n}1}$[3]

• 组合数
• 多项式定理
• 整数分拆