集中不等式

马尔可夫不等式给出了一个实值随机变量取值大于等于某个特定数值的概率的上限。设X是一个随机变量，a>0为正实数，那么以下不等式成立[1]：

${\displaystyle \mathbb {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} (|X|)}{a}}.}$

这个不等式可以推广。对所有的单调严格递增的非零函数${\displaystyle \Phi }$，都有类似的不等式[1]：

${\displaystyle \mathbb {P} (X\geq a)=\mathbb {P} (\Phi (X)\geq \Phi (a))\leq {\frac {\mathbb {E} (\Phi (X))}{\Phi (a)}}.}$

马尔可夫不等式给出了随机变量处于区间${\displaystyle [a,\infty )}$之概率的上限估计。切比雪夫不等式则给出了随机变量集中在距离其数学期望值距离不超过a的区间上之概率的上限估计。设X是一个随机变量，a>0为正实数，那么只要对随机变量${\displaystyle Y=(X-\mathbb {E} X)^{2}}$应用马尔可夫不等式就可以得到：

${\displaystyle \mathbb {P} (|X-\mathbb {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},}$

其中的${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$表示变量X的方差，也就是：

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} (X))^{2}].}$

霍夫丁不等式适用于有界的随机变量。设有两两独立的一系列随机变量${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\!}$。假设对所有的${\displaystyle 1\leq i\leq n}$，${\displaystyle X_{i}}$都是几乎有界的变量，即满足：

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}\in [a_{i},b_{i}])=1.\!}$

那么这n个随机变量的经验期望：

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}}$

满足以下的不等式[1][2]：

${\displaystyle \mathbb {P} ({\overline {X}}-\mathbb {E} [{\overline {X}}]\geq t)\leq \exp \left(-{\frac {2t^{2}n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})^{2}}}\right),\!}$

${\displaystyle \mathbb {P} (|{\overline {X}}-\mathbb {E} [{\overline {X}}]|\geq t)\leq 2\exp \left(-{\frac {2t^{2}n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})^{2}}}\right),\!}$

Efron–Stein不等式给出了随机变量方差的一个上限估计。设有两两独立的随机变量${\displaystyle X_{1}\dots X_{n}}$和${\displaystyle X_{1}'\dots X_{n}'}$，并且对所有的${\displaystyle i}$，${\displaystyle X_{i}'}$与${\displaystyle X_{i}}$有着相同的分布。那么令${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n}),X^{(i)}=(X_{1},\dots ,X_{i-1},X_{i}',X_{i+1},\dots ,X_{n})}$，则有

${\displaystyle \mathrm {Var} (f(X))\leq {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}E[(f(X)-f(X^{(i)}))^{2}].}$[1]