雙球坐標系

每一個紅色的 ${\displaystyle \sigma }$-坐標曲面都是包含了兩個焦點 ${\displaystyle F_{1}}$ 與 ${\displaystyle F_{2}}$ 環面。，每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$ 。

當絕對值 ${\displaystyle \left|\sigma \right|}$ 增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時，${\displaystyle \left|\sigma \right|}$ 達到最大值 ${\displaystyle \pi /2}$ 。

每一個藍色的 ${\displaystyle \tau }$-坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$ 。

它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 ${\displaystyle \tau }$ 的圓球面在 ${\displaystyle z>0}$ 半空間；而負值 ${\displaystyle \tau }$ 的圓球面在 ${\displaystyle z<0}$ 半空間。${\displaystyle \tau =0}$ 曲線則與 xy-平面同平面。當 ${\displaystyle \tau }$ 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

圖 3 ）點 P 的坐標 ${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的幾何意義。在一個方位角 ${\displaystyle \phi }$ 為常數的平面裏，雙球坐標系變成雙極坐標系。${\displaystyle \sigma }$ 是角 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$ 的弧度。${\displaystyle \tau }$ 是點 P 離兩個焦點的距離 ${\displaystyle d_{1}}$ 與 ${\displaystyle d_{2}}$ 的比例的自然對數。${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（表示在洋紅色的方盒裏）。

雙球坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 可以用直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 來表示。方位角 ${\displaystyle \phi }$ 的公式為

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$ 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是

${\displaystyle d_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}$ 、

${\displaystyle d_{2}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}$ 。

${\displaystyle \tau }$ 是 ${\displaystyle d_{1}}$ 與 ${\displaystyle d_{2}}$ 的比例的自然對數：

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ 。

如圖 3 ，${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 ${\displaystyle \sigma }$ 。用餘弦定理來計算：

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}}$ 。

雙球坐標 ${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的標度因子相等：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$ 。

方位角的標度因子為

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$ 。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}}d\sigma d\tau d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。