雷德演算法

將雷德演算法之離散傅里葉轉換矩陣視覺化的結果。圖中上色之時鐘圖示代表了大小為11的矩陣中各元素之相位。除了第一行與第一列外，在使用11之原根（即2）重新排列矩陣後，原始之離散傅里葉轉換矩陣即形成一循环矩阵。將訊號與一循環矩陣相乘即等同於圓周摺積。

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}nk}\qquad k=0,\dots ,N-1}$

若${\displaystyle N}$是一個質數，則${\displaystyle n=1,\ldots ,N-1}$之非零索引數集合即形成一整数模N乘法群。運用数论的一個結論，可知此類的群中存在一個生成元（有時亦稱為原根，可由穷举搜索或其它較有效率之演算法快速找到[7]）——一個整數 ${\displaystyle g,}$使得對於任意的非零索引數 ${\displaystyle n\in \{1,2,\cdots ,N-1\},}$都存在唯一的 ${\displaystyle q\in \{0,1,\cdots ,N-2\}}$令 ${\displaystyle n=g^{q}{\pmod {N}}}$，即形成一${\displaystyle q}$至非零${\displaystyle n}$的對射；同樣地，對於任意的非零索引數 ${\displaystyle k\in \{1,2,\cdots ,N-1\},}$都存在唯一的 ${\displaystyle p\in \{0,1,\cdots ,N-2\}}$令 ${\displaystyle k=g^{-p}{\pmod {N}}}$，其中指數的負號代表的是 ${\displaystyle g^{p}}$之模反元素。這代表所求之離散傅立葉轉換可用新的索引數 ${\displaystyle p}$及 ${\displaystyle q}$改寫如下：

${\displaystyle X_{0}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n},}$

${\displaystyle X_{g^{-p}}=x_{0}+\sum _{q=0}^{N-2}x_{g^{q}}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}g^{-(p-q)}}\qquad p=0,\dots ,N-2}$

其中${\displaystyle x_{n}}$和${\displaystyle X_{k}}$皆對${\displaystyle N}$隱含週期性，而${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$。因此，所有索引數以及指數皆可依群算術之要求取模${\displaystyle N}$之結果。

上式中最後的加總即為長度${\displaystyle N-1}$（${\displaystyle q=0,\ldots ,N-2}$）之兩數列${\displaystyle a_{q}}$和${\displaystyle b_{q}}$的圓周摺積：

${\displaystyle a_{q}=x_{g^{q}}}$

${\displaystyle b_{q}=e^{-{\frac {2\pi i}{N}}g^{-q}}}$