循环矩阵

形式为

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{0}&c_{n-1}&\cdots &c_{2}&c_{1}\\c_{1}&c_{0}&c_{n-1}&&c_{2}\\\vdots &c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\c_{n-2}&&\ddots &\ddots &c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{n-2}&\cdots &c_{1}&c_{0}\\\end{bmatrix}}}$

的 ${\displaystyle n\times n}$ 矩阵 C 就是循环矩阵。

循环矩阵遵循代数运算法则。对于两个循环矩阵 A 与 B 来说，A + B 也是循环矩阵。AB 也是循环矩阵，并且 ${\displaystyle AB=BA}$。

循环矩阵的特征向量矩阵是同样维数的离散傅立叶变换矩阵，因此循环矩阵的特征值可以很容易地通过快速傅立叶变换计算出来。 具体对应关系为

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{0}+c_{n-1}\omega _{j}+c_{n-2}\omega _{j}^{2}+\ldots +c_{1}\omega _{j}^{n-1},\qquad j=0,1,\ldots ,n-1.}$

其中${\displaystyle \omega _{j}=\exp \left(i{\tfrac {2\pi j}{n}}\right)}$。

对称矩阵 ${\displaystyle C}$ 附加一个条件 ${\displaystyle c_{n-i}=c_{i}}$。 因此可由 ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor +1}$ 个元素定义。

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{0}&c_{1}&\dots &c_{2}&c_{1}\\c_{1}&c_{0}&c_{1}&&c_{2}\\\vdots &c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\c_{2}&&\ddots &\ddots &c_{1}\\c_{1}&c_{2}&\dots &c_{1}&c_{0}\\\end{bmatrix}}.}$

实对称矩阵的所有特征值都是实数，对于上述定义的实对称循环矩阵，这些特征值在${\displaystyle n}$为偶数时为

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{0}+2c_{1}\Re \omega _{j}+2c_{2}\Re \omega _{j}^{2}+\ldots +2c_{n/2-1}\Re \omega _{j}^{n/2-1}+c_{n/2}\omega _{j}^{n/2}}$

在${\displaystyle n}$为奇数时为

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{0}+2c_{1}\Re \omega _{j}+2c_{2}\Re \omega _{j}^{2}+\ldots +2c_{(n-1)/2}\Re \omega _{j}^{(n-1)/2}}$

其中${\displaystyle \Re }$表示取实部。 利用${\displaystyle \Re \omega _{j}^{k}=\cos(2\pi jk/n)}$，可进一步简化。

设矩阵方程

${\displaystyle \mathbf {C} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$

其中 C 是 n 维方形循环矩阵，这样就可以将方程表示成循环卷积

${\displaystyle \mathbf {c} *\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

其中 c 是循环矩阵 C 的第一列，c、x与b分别向每个方向循环。用离散傅立叶变换将循环卷积转换成两个变量之间的乘积

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} *\mathbf {x} )={\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} ){\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {b} )}$

因此

${\displaystyle \mathbf {x} ={\mathcal {F}}_{n}^{-1}\left[\left({\frac {({\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {b} ))_{\nu }}{({\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} ))_{\nu }}}\right)_{\nu \in \mathbf {Z} }\right].}$

这个算法比标准的高斯消去法的速度要快很多，尤其是当使用快速傅立叶变换的时候更是如此。

在图论中，邻接矩阵为循环矩阵的图与有向图叫作轮换图。同样，如果图的自同构群包含全部的循环，那么图就是轮换图。Möbius ladder 就是轮换图的例子。

• Toeplitz and Circulant Matrices: A Review, by R. M. Gray （页面存档备份，存于）