电偶极矩

假設一介電質擁有自由電荷密度${\displaystyle \rho _{free}(\mathbf {r} ')}$、電偶極矩密度${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}$、電四極矩密度${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {Q}}}(\mathbf {r} ')}$等等，平滑地分佈於區域${\displaystyle \mathbb {V} '}$，則其電勢為[3]

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {{\mathfrak {Q}}_{ij}(\mathbf {r} ')(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{2|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{5}}}\dots \right]\ d^{3}\mathbf {r} '}$；

其中，${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle x_{3}}$是${\displaystyle \mathbf {r} }$的三個直角坐標。

為了方便運算，只取至電偶極矩密度項目，

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right]\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

應用向量恆等式與分部積分法，帶單撇號的梯度符號表示對於源位置的偏微分，

${\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$，

積分方程式的右手邊第二個項目變為

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ d^{3}\mathbf {r} '&=\int _{\mathbb {V} '}{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '\\&=\int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot \left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '-\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}}$。

應用散度定理，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot \left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '=\oint _{\mathbb {S} '}\left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\cdot \ d\mathbf {a} '}$。

假設區域${\displaystyle \mathbb {V} '}$變為無窮大，則其閉曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的積分項目趨向於零，所以，

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-\ {\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

注意到電勢乃是由總電荷決定：

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{total}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

由於積分於任意體積，以下全等式成立（由於不會造成歧義，可以不使用單撇號）：

${\displaystyle \rho _{total}=\rho _{free}+\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} )}$。

因此，束縛電荷密度與電偶極矩密度的關係為

${\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}}$。

設定電極化強度為電偶極矩密度[4]：${\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}}$，則

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}}$。

類似地，可以將電四極矩密度項目加入為電極化強度的一部分。例如，在計算電磁波的散射於介電質時，電荷、電偶極子、電多極子等等，這些實體會各自不同地散射電磁波，因此，可能需要使用比電偶極矩近似法更加精確的方法[5]。

均勻電偶極子分佈會造成面束縛電荷的出現。簡圖上方的藍色粗線表示負性面電荷；下方的紅色粗線表示正性面電荷。

前面論述做了一個假設，即區域${\displaystyle \mathbb {V} '}$變為無窮大。這假設促使閉曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的積分項目趨向於零；倘若不作這假設，倘若區域${\displaystyle \mathbb {V} '}$的體積為有限尺寸，則閉曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的積分項目會展示出面束縛電荷。如右圖所示，電偶極子均勻地分佈於區域內部，每一個電偶極子的矢頭（正電荷）與矢尾（負電荷）會互相抵消。但是，在這區域的閉曲面，矢頭與矢尾無法互相抵消，電偶極子的矢頭形成了正性面電荷，而矢尾形成了負性面電荷。這兩組異性面電荷會產生電場，其方向與電偶極矩的方向相反。

假設自由電荷密度為零，電極化強度為電偶極矩密度，則電勢以方程式表示為

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} '}\left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\cdot \ d\mathbf {a} '-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}}$。

設定束縛電荷密度為

${\displaystyle \sigma _{bound}={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}$；

其中，${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$是閉曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的法向量，從${\displaystyle \mathbb {S} '}$往外指出。

那麼，在區域${\displaystyle \mathbb {V} '}$內的電偶極子分佈所產生的電勢，可以視為是由體束縛電荷密度${\displaystyle \rho _{bound}}$與面束縛電荷密度${\displaystyle \sigma _{bound}}$共同產生：

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} '}{\frac {\sigma _{bound}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ da'+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{bound}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

假設介電質球的相對電容率大於四周環境的電極化率，當施加均勻外電場後，電位移場線展示出的圖樣[6]。

思考處於均勻外電場${\displaystyle \mathbf {E} _{\infty }=E_{\infty }{\hat {\mathbf {z} }}}$的一個線性均勻介電質球，其相對電容率為${\displaystyle \epsilon _{r}}$。採用球坐標系${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$，則對於方位角對稱系統，拉普拉斯方程式的一般解為

${\displaystyle \phi (r,\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }(A_{l}\ r^{l}+B_{l}\ r^{-(l+1)})P_{l}(\cos {\theta })}$；

其中，${\displaystyle A_{l}(\cos {\theta })}$是係數，${\displaystyle P_{l}(\cos {\theta })}$是勒讓德多項式。

設定球坐標系的原點與介電質球的球心同位置，在球內部，不容許${\displaystyle r^{-(l+1)}}$項目存在，否則，在球心位置，電勢會發散，所以，

${\displaystyle \phi _{in}(r,\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }A_{l}\ r^{l}P_{l}(\cos {\theta })}$。

在球外部，當${\displaystyle r}$超大於球半徑${\displaystyle R}$時，外電場項目是主要項目，其它項目都趨向於零，因此電勢趨向於${\displaystyle -E_{\infty }r\cos {\theta }}$，所以，

${\displaystyle \phi _{out}(r,\theta )=-E_{\infty }r\cos {\theta }+\sum _{l=0}^{\infty }B_{l}r^{-(l+1)}P_{l}(\cos {\theta })}$。

在球表面，兩電勢函數必需滿足以下邊界條件：

${\displaystyle \phi _{in}(R,\theta )=\phi _{out}(R,\theta )}$、

${\displaystyle \epsilon _{r}\left.{\frac {\partial \phi _{in}(r,\theta )}{\partial r}}\right|_{r=R}=\left.{\frac {\partial \phi _{out}(r,\theta )}{\partial r}}\right|_{r=R}}$。

匹配${\displaystyle P_{l}(\cos {\theta })}$相同的項目，第一個邊界條件導致

${\displaystyle A_{1}R=-E_{\infty }R+B_{1}R^{-2}}$、

${\displaystyle A_{l}R^{l}=B_{l}R^{-(l+1)},\qquad \qquad l\neq 1}$；

第二個邊界條件導致

${\displaystyle \epsilon _{r}A_{1}=-E_{\infty }-2B_{1}R^{-3}}$、

${\displaystyle \epsilon _{r}lA_{l}R^{(l-1)}=-(l+1)B_{l}R^{-(l+2)},\qquad \qquad l\neq 1}$。

從這些方程式，經過一番運算，可以得到

${\displaystyle A_{1}=-\ {\frac {3E_{\infty }}{\epsilon _{r}+2}}}$、

${\displaystyle B_{1}={\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}E_{\infty }}{\epsilon _{r}+2}}}$；

其它係數都等於零：

${\displaystyle A_{l}=B_{l}=0,\qquad \qquad l\neq 1}$。

所以，在球外部，電勢為

${\displaystyle \phi _{out}(r,\theta )=-E_{\infty }r\cos {\theta }+{\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}E_{\infty }\cos {\theta }}{(\epsilon _{r}+2)r^{2}}}}$。

這等價於外電場${\displaystyle \mathbf {E} _{\infty }}$與電偶極矩${\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \epsilon _{0}\left({\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }}$所共同產生的電勢，或者，外電場與電偶極矩密度${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}={\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\epsilon _{0}\left({\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }}$、半徑為${\displaystyle R}$的介電質球所共同產生的電勢。

因子${\displaystyle {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}}$稱為克勞修斯-莫索提因子。這因子顯示出，假若${\displaystyle \epsilon _{r}<1}$，則感應電極化強度會改變正負號。當然，實際上，由於介電質的${\displaystyle \epsilon _{r}\geq 1}$，這狀況永遠不會發生。但是，假設這介電質球含有兩種不同的介電質，${\displaystyle \epsilon _{r}}$會被替代為內層與外層的相對電容率的比例，而這比例有可能大於或小於1。

在球內部，電勢為

${\displaystyle \phi _{in}(r,\theta )=-{\frac {3}{\epsilon _{r}+2}}E_{\infty }r\cos {\theta }}$。

電場為

${\displaystyle \mathbf {E} _{in}=-\nabla \phi _{in}(r,\theta )={\frac {3}{\epsilon _{r}+2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-\ {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }}$。

這顯示出電偶極子的「去電極化效應」，所產生的去極化場${\displaystyle \mathbf {E} _{p}}$為

${\displaystyle \mathbf {E} _{p}=\mathbf {E} _{in}-\mathbf {E} _{\infty }=-\ \left({\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }=-{\frac {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}{3\epsilon _{0}}}}$。

注意到在介電質球內部，電場具有均勻性，並且與外電場平行。電場與電偶極矩密度的關係為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}=\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1)\mathbf {E} _{in}}$；

電偶極矩密度也是均勻的，所以，體束縛電荷密度為零：

${\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}=0}$。

在介電質球表面，面束縛電荷密度是內外兩電場的徑向分量的差值，或電偶極矩密度與徑向單位向量的內積：

${\displaystyle \sigma _{bound}={3}\varepsilon _{0}{\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}E_{\infty }\cos {\theta }={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}}$。

由於內稟電偶極矩而產生的宇稱（P）破壞和時間反演（T）破壞。

假設基本粒子擁有內稟電偶極矩，則宇稱（P）和時間反演對稱性（T）都會被破壞。舉例而言，思考中子的磁偶極矩和假定的電偶極矩，這兩種向量的方向必需相同。但是，時間反演會逆反磁偶極矩的方向，不會改變電偶極矩的方向[註 2]；空間反演（宇稱）會逆反電偶極矩的方向，不會改變磁偶極矩的方向[註 3] 。電偶極矩的存在破壞了這些對稱性。假定CPT對稱性正確無誤，則時間反演破壞也促使CP對稱性被破壞。

按照前面論述，為了營造有限值電偶極矩，必需先存在有破壞CP對稱性的理論程序。實驗者已經在弱交互作用的實驗中觀測到CP破壞，也已經能夠用標準模型的卡比博-小林-益川矩陣中的CP破壞相位來解釋CP破壞。但是，這解釋所獲得的CP破壞數值非常微小，因此對於電偶極矩的貢獻也微乎其微：${\displaystyle |p_{n}|\sim 10^{-32}\ e\ \mathrm {cm} }$[14]。遠遠低於現在最精密實驗所能測量到的數值。電偶極矩實驗可以用來核對很多從標準模型延伸的嶄新理論，例如如最小超對稱標準模型（）、左右對稱模型（）等等。這些理論估計的電偶極矩數值在可核對值域內。