非等向性擴散

${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ 代表的是平面上的子集合，且 ${\displaystyle I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ 是一組灰階影像，則非等向性擴散可以定義為

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\mathrm {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\Delta I}$

${\displaystyle \Delta }$ 代表的是拉普拉斯運算子，${\displaystyle \nabla }$ 代表的是梯度運算子，${\displaystyle \mathrm {div} (\dots )}$ 則是散度運算子，而 ${\displaystyle c(x,y,t)}$ 代表的是擴散係數. ${\displaystyle c(x,y,t)}$ 控制擴散的程度，而且通常是根據影像梯度所產生的方程式，所以能夠保存原本影像中的邊界。 Pietro Perona 和 Jitendra Malik 在1990年最早提出非等向性擴散的概念，且提出了兩種計算擴散係數的方程式：

${\displaystyle c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}}$

和

${\displaystyle c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}}$

常數K控制方程式對於邊界的敏感度，而其值通常是根據影像中的噪音所產生，或者根據實驗所產生。

若 ${\displaystyle M}$ 代表的是平滑的影像，則上面的擴散方程式就可以被轉換成用梯度下降法尋找方程式 ${\displaystyle E:M\rightarrow \mathbb {R} }$ 的最小能量，而 ${\displaystyle E:M\rightarrow \mathbb {R} }$ 則定義為

${\displaystyle E[I]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx}$

其中 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 是一個實數函數，其代表的是擴散係數之間的關係。對於可微函數 ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\&=-\int _{\Omega }\mathrm {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}}$

假設 ${\displaystyle \nabla E_{I}}$代表 E 對 ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )}$ 內積的梯度，則

${\displaystyle \nabla E_{I}=-\mathrm {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}$

因此，其梯度下降法的方程式可以表示成

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\mathrm {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}$

我們假設 ${\displaystyle c=g'}$ 就可以得到非等向性方程式了。

修正後的Perona-Malik模型，又被成為正規化的P-M方程式，其未知部分在非線性部分與高斯函數進行卷積，得到

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\mathrm {div} \left(c(|DG_{\sigma }*I|)\nabla I\right)}$

其中 ${\displaystyle G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}exp\left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)}$.

正規化雖然可以增加其穩定性，但同時也會產生模糊效果，所以要在事前得知噪音的程度才能夠決定正規化的所需要的常數。

非等向性擴散可以用來減少數位影像的雜訊而不會模糊其邊界。如果在固定的擴散係數下，非等向性擴散方程式所減少的heat equation與高斯模糊是相同的，但這樣會在消除雜訊時同時模糊邊界。如果擴散係數是根據邊界偵測方程式來決定，像是Perona Malik 模型的話，其結果會在區域內進行擴散而且不會使其超過較強的邊界，因此在移除雜訊後，影像中的邊界及結構仍可以保留下來。

除了移除雜訊之外，非等向性擴散也可以用於邊界偵測。只要根據邊界偵測方程式來進行多次遞迴的非等向性擴散，其最終結果影像會趨向於剩下一個一個的色塊，而相鄰色塊之間的區域則會被偵測為邊界。

• 雙邊濾波器
• 邊緣檢測
• 熱傳導方程式
• 噪點

[1]

• Mathematica PeronaMalikFilter （页面存档备份，存于） function.
• IDL nonlinear anisotropic diffusion package(edge enhancing and coherence enhancing): （页面存档备份，存于）

1. . [2017-07-07]. （原始内容存档于2021-01-19）.