边缘检测

边缘可能与视角有关——也就是说边缘可能随着视角不同而变化，典型地反映在场景、物体的几何形状一个将另一个遮挡起来，也可能与视角无关——这通常反映被观察物体的属性如表面纹理和表面形状。在二维乃至更高维空间中，需要考虑透视投影的影响。

一个典型的边界可能是（例如）一块红色和一块黄色之间的边界；与此相反的是边线可能是在另外一种不变的背景上的少数不同颜色的点。在边线的每一边都有一个边缘。在许多图像处理的应用中边缘都起着非常重要的作用。然而，在最近几年，不明显依赖于边缘检测作为预处理的计算机视觉处理方法研究取得了一些实质性（成功）的研究成果。

自然界图像的边缘并不总是理想的阶梯边缘。相反，它们通常受到一个或多个下面所列因素的影响：

• 有限场景深度带来的聚焦模糊.
• 非零半径光源产生的阴影带来的半影模糊.
• 光滑物体边缘的阴影.
• 物体边缘附近的局部镜面反射或者漫反射.

尽管下面的模型不很完美，但是误差函数${\displaystyle \operatorname {erf} }$还是常被用于实际应用中边缘模糊效果的建模。

这样，一个在位置${\displaystyle 0}$之边界的一维图像${\displaystyle f}$可以用下面的模型来表示：

${\displaystyle f(x)={\frac {I_{r}-I_{l}}{2}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)+1\right)+I_{l}}$

这样，在边界的左侧亮度是${\displaystyle I_{l}=\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)}$，在右侧亮度是 ${\displaystyle I_{r}=\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)}$；${\displaystyle \sigma }$被称为边缘模糊度。

注意${\displaystyle f}$可以写为卷积${\displaystyle f=g_{\sigma }*u}$，其中${\displaystyle g_{\sigma }}$是标准偏差${\displaystyle \sigma }$的高斯核，${\displaystyle u}$是下面定义的一个阶跃函数：

${\displaystyle u(x):=\left\{{\begin{matrix}I_{l},&\mathrm {if} \;x\leq 0\\I_{r},&\mathrm {otherwise} \end{matrix}}\right.}$

。

如果将边缘认为是一定数量点亮度发生变化的地方，那么边缘检测大体上就是计算这个亮度变化的导数。为简化起见，我们可以先在一维空间分析边缘检测。在这个例子中，我们的数据是一行不同点亮度的数据。例如，在下面的1维数据中我们可以直观地说在第4与第5个点之间有一个边界：

除非场景中的物体非常简单并且照明条件得到了很好的控制，否则确定一个用来判断两个相邻点之间有多大的亮度变化才算是有边界的阈值，并不是一件容易的事。实际上，这也是边缘检测不是一个简单问题的原因之一。

有许多用于边缘检测的方法，他们大致可分为两类：基于搜索和基于零交叉.

基于搜索的边缘检测方法首先计算边缘强度，通常用一阶导数表示，例如梯度模;然后，用计算估计边缘的局部方向，通常采用梯度的方向，并利用此方向找到局部梯度模的最大值.

基于零交叉的方法找到由图像得到的二阶导数的零交叉点来定位边缘.通常用拉普拉斯算子或非线性微分方程的零交叉点，我们将在后面的小节中描述.

滤波做为边缘检测的预处理通常是必要的，通常采用高斯滤波.

已发表的边缘检测方法应用计算边界强度的度量，这与平滑滤波有本质的不同.正如许多边缘检测方法依赖于图像梯度的计算，他们用不同种类的滤波器来估计x-方向和y-方向的梯度.

• 一阶：Roberts Cross算子, Prewitt算子, Sobel算子, Canny算子，罗盘算子
• 二阶：Marr-Hildreth,在梯度方向的二阶导数过零点。

目前，Canny算子（或者这个算子的变体）是最常用的边缘检测方法。 在Canny创造性的工作中，他研究了设计一个用于边缘检测最优预平滑滤波器中的问题，后来他说明这个滤波器能够很好地被一阶高斯导数核优化。另外Canny引入了非最大抑制概念，它是说边缘定义为在梯度方向具有最大梯度值的点。

在一个离散矩阵中，非最大抑制阶梯能够通过一种方法来实现，首先预测一阶导数方向、然后把它近似到45度的倍数、最后在预测的梯度方向比较梯度幅度。

一个获得亚点精度边缘的改进实现是通过检测梯度方向上二阶方向梯度的过零点来实现的： ${\displaystyle L_{x}^{2}\,L_{xx}+2\,L_{x}\,L_{y}\,L_{xy}+L_{y}^{2}\,L_{yy}=0,}$ 它在梯度方向的三阶方向梯度满足符号条件

${\displaystyle L_{x}^{3}\,L_{xxx}+3\,L_{x}^{2}\,L_{y}\,L_{xxy}+3\,L_{x}\,L_{y}^{2}\,L_{xyy}+L_{y}^{3}\,L_{yyy}<0}$

其中，${\displaystyle L_{x}}$, ${\displaystyle L_{y}}$ ... ${\displaystyle L_{yyy}}$表示从使用高斯核平滑原始图像得到的尺度空间表示${\displaystyle L}$计算出的偏微分。

按照这种方法，能够自动得到亚点精度的连续曲线边缘。

滞后门槛也可以用在这些差分边缘片断。

罗盘算子是斯坦福大学的Ruzon在1999年提出的一个新的算子，据实验以及报道，性能超过Canny算子。

• 霍夫变换（Hough Transform），用来做直线检测.
• 原子线滤波器（atomic line filter），用来做直线检测.