鞅表示定理

令${\displaystyle B_{t}}$为标准过滤概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},P)}$上的布朗运动，并令${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t}}$为${\displaystyle B}$生成的强化滤波。若X是关于${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$的平方可积随机变量，则存在关于${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t},}$的可预测过程C，使

${\displaystyle X=E(X)+\int _{0}^{\infty }C_{s}\,dB_{s}.}$

因此

${\displaystyle E(X|{\mathcal {G}}_{t})=E(X)+\int _{0}^{t}C_{s}\,dB_{s}.}$

鞅表示定理可用来确定对冲策略的存在性。假设${\displaystyle \left(M_{t}\right)_{0\leq t<\infty }}$是Q鞅过程，其波动性${\displaystyle \sigma _{t}}$非零。则若${\displaystyle \left(N_{t}\right)_{0\leq t<\infty }}$是任何其他Q鞅过程，就存在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$可料过程${\displaystyle \varphi }$，对零测集是唯一的，这样${\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}\,dt<\infty }$的概率为1，且N可以写成：

${\displaystyle N_{t}=N_{0}+\int _{0}^{t}\varphi _{s}\,dM_{s}.}$

复制策略定义为

• 在t时刻持有${\displaystyle \varphi _{t}}$单位股票，且
• 持有${\displaystyle \psi _{t}B_{t}=C_{t}-\varphi _{t}Z_{t}}$单位债券。

其中${\displaystyle Z_{t}}$是债券价格贴现到时间${\displaystyle t}$时的股价，${\displaystyle C_{t}}$是期权在时间${\displaystyle t}$时的预期收益。

在到期日T，投资组合的价值为：

${\displaystyle V_{T}=\varphi _{T}S_{T}+\psi _{T}B_{T}=C_{T}=X}$

且很容易检查出该策略是自负盈亏的：投资组合价值的变化只取决于资产价格变化${\displaystyle \left(dV_{t}=\varphi _{t}\,dS_{t}+\psi _{t}\,dB_{t}\right)}$。

• 反向随机微分方程

• Montin, Benoît. (2002) "Stochastic Processes Applied in Finance" [1]
• Elliott, Robert (1976) "Stochastic Integrals for Martingales of a Jump Process with Partially Accessible Jump Times", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, 36, 213–226

1. . May 19, 2023.