可预测过程

设有

• 概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$；
• 测度空间${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$，状态空间；
• 有序的指标集${\displaystyle T}$： 可以是非负实数集${\displaystyle [0,\infty )}$、有限时间集${\displaystyle [0,T_{0}]}$或离散时间${\displaystyle \mathbb {N} }$；
• σ-代数${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上的参考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$；
• 随机过程${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$。

当指标集${\displaystyle T}$是（可数的）离散集合，比如${\displaystyle \mathbb {N} }$时，${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {N} }}$是可预测过程当且仅当对任意的${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，${\displaystyle X_{n+1}}$都是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$-可测的随机变量[1]^:190。通俗地说，只要完全掌握了这个随机过程在${\displaystyle t=n}$时刻的所有信息，那么${\displaystyle t=n+1}$时的取值就是确定的[2]^:§8.2。

当指标集${\displaystyle T}$是（不可数的）连续集合，比如${\displaystyle [0,\infty )}$时，${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$是可预测过程当且仅当对任意的${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$，${\displaystyle X_{t}}$都是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{-}}}$-可测的随机变量。其中的参考族${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{-}}=\bigcup _{s<t}{\mathcal {F}}_{s}}$[2]^:§8.2。换句话说，如果知道了随机过程这个随机过程${\displaystyle X}$在${\displaystyle t}$时刻之前任意时刻的取值，那么几乎必然有${\displaystyle X_{t}=\lim _{s\uparrow t}X_{s}}$，也就是说随机过程在一个特定时刻的取值是之前的取值的极限。另一种等价的定义方式是先定义可预测的σ-代数。给定了参考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$后，可以定义${\displaystyle (\Omega ,T)}$上的${\displaystyle \mathbb {F} }$-可预测σ-代数${\displaystyle \mathbb {F} ^{p}}$：它是由所有的左连续并且对每个${\displaystyle t}$都可测的过程${\displaystyle Y=Y(\omega ,t)}$生成的σ-代数。而一个随机过程是可预测的，当且仅当${\displaystyle X=X(\omega ,t)}$作为${\displaystyle (\Omega ,T)}$上的随机变量是${\displaystyle \mathbb {F} ^{p}}$-可测的[1]^:226[3]^:171-172。

• 任意的左连续适应过程，或者一列左连续适应过程的（概率为1的）极限，都是可预测过程[2]^:§8.2。实际上，可预测过程的集合就是所有左连续适应过程生成的σ-代数[1]^:226。
• 任意关于可预测过程的可测函数仍然是可预测过程[2]^:§8.2。
• 只有在可预测过程上才能定义关于半鞅的积分[2]^:§8.2。

• 适应过程
• 循序可测过程