失效率

失效率可以用以下的方式定义：

在一特定的测试條件及測試時間下，統計群體內失效次數總和，除以統計群體在失效前的測試時間總和[2]。

雖然失效率${\displaystyle \lambda (t)}$常被視為假設時間${\displaystyle t}$前沒有失效的情形下，在一段特定時間內出現失效的機率，但失效率可能會大於1，因此其實不是機率。若錯誤的將失效率以%表示，也很容易造成對於失效率不正確的認知。失效率可以用可靠度函數來定義，可靠度函數也稱為生存函數，是在時間${\displaystyle t}$之前沒有失效的機率。

${\displaystyle \lambda (t)={\frac {f(t)}{R(t)}}}$，其中${\displaystyle f(t)}$為（第一次）失效發生時間的分佈（失效密度函數），而${\displaystyle R(t)=1-F(t)}$.

${\displaystyle \lambda (t)={\frac {R(t_{1})-R(t_{2})}{(t_{2}-t_{1})\cdot R(t_{1})}}={\frac {R(t)-R(t+\triangle t)}{\triangle t\cdot R(t)}}\!}$

在從時間${\displaystyle t_{1}}$ (或${\displaystyle t}$)到${\displaystyle t_{2}}$之間時間區間${\displaystyle (t_{2}-t_{1})}$，而${\displaystyle \Delta t}$定義為${\displaystyle (t_{2}-t_{1})}$。

指數失效密度函數

計算較短時間區間下的失效率，可以得到風險率（或風險函數）${\displaystyle h(t)}$，是${\displaystyle \scriptstyle \Delta t}$趨近於零時的瞬時失效率：

${\displaystyle h(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t\cdot R(t)}}.}$

連續的失效率和失效分佈${\displaystyle \scriptstyle F(t)}$有關，失效分佈是描述失效機率的累积分布函数：

${\displaystyle \operatorname {Pr} (T\leq t)=F(t)=1-R(t),\quad t\geq 0.\!}$

其中${\displaystyle {T}}$失效時間。

失效分佈函數是機率密度函數f(t)的積分

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau .\!}$

風險函數可以定義為

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {f(t)}{R(t)}}.}$

許多機率分佈可以用來做為失效分佈的建模，常見的模型是指數失效分佈：

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda \tau }\,d\tau =1-e^{-\lambda t},\!}$

是以指數分佈為基礎的失效分佈，風險函數為：

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda .}$

因此對於指數失效分佈，風險函數對時間為定值（分佈為無記憶性）。但對於像韦伯分布或对数正态分布等其他分佈，風險函數對時間可能不是定值。

失效率遞減（DFR）是指一零件或系統在一段特定時間內，失效率會隨著時間而減小的現象。像早期失效已被移除或是修正後，就會有一段時間有失效率遞減的情形[3]，此時的λ(t)為遞減函數。

DFR的隨機變數混合後仍為DFR[4]，而指数分布的隨機變數混合後也是為DFR[5]。

失效率資料可以由許多方式求得，常見的有以下幾種方式：

待確認系統或設備的歷史資料

許多組織都對於生產設備或產品的故障有內部的資料庫，可以用來計算設備或系統的失效率。對於新的設備或是系統，則可以先用類似設備或是系統的失效率做為估計值。

政府或商用的失效率資料庫

政府及商業組織會有許多零件的失效率手冊。MIL-HDBK-217F（電子元件的可靠度預估）是有許多軍用電子零件失效率的軍用規範。也有許多商用的失效率資料庫，主要針對商用的零件，甚至包括一些非電子的元件。

測試

最準確的方式是用實際的設備或是系統進行測試，以得到失效率資料。但此作法常有成本極其高昂或是不可行的缺點，因此會改用上述的作法。

尼爾森-艾倫估測子可以用來估計累積危險率函數。

• Reliability Prediction of Electronic Equipment, MIL-HDBK-217F(2), (DOD download site.)
• Bathtub curve issues by ASQC.（页面存档备份，存于）
• Fault Tolerant Computing in Industrial Automation by Hubert Kirrmann, ABB Research Center, Switzerland
• Usenet FAQ about MTBF（页面存档备份，存于）
• Reliability and Availability Basics（页面存档备份，存于）
• Product failure behavior and wear out（页面存档备份，存于）