马尔可夫网络

联合分布（吉布斯测度）用马尔可夫网络可以表示为：

${\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z}}\prod _{k}f_{k}(x_{\{k\}})}$

其中${\displaystyle x=x_{\{1\}}x_{\{2\}}x_{\{3\}}\cdots }$是向量，${\displaystyle x_{\{k\}}=x_{\{k,1\}}x_{\{k,2\}}\cdots x_{\{k,|c_{k}|\}}}$是随机变量${\displaystyle x}$在第k个团的状态（${\displaystyle |c_{k}|}$是在第k个团中包含的节点数。），乘积包括了图中的所有团。注意马尔可夫性质在团内的节点存在，在团之间是不存在依赖关系的。这里，${\displaystyle Z}$是配分函数，有

${\displaystyle Z=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}\prod _{k}f_{k}(x_{\{k\}})}$.

实际上，马尔可夫网联络经常表示为对数线性模型。通过引入特征函数${\displaystyle \phi _{k}}$，得到

${\displaystyle f_{k}=\exp \left(w_{k}^{\top }\phi _{k}(x_{\{k\}})\right)}$

和

${\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z}}\exp \left(\sum _{k}w_{k}^{\top }\phi _{k}(x_{\{k\}})\right)}$

以及划分函数

${\displaystyle Z=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}\exp \left(\sum _{k}w_{k}^{\top }\phi _{k}(x_{\{k\}})\right)}$。

其中，${\displaystyle w_{k}}$是权重，${\displaystyle \phi _{k}}$是势函数，映射团${\displaystyle k}$到实数。这些函数有时亦称为吉布斯势；术语势源于物理，通常从字面上理解为在临近位置产生的势能。

对数线性模型是对势能的一种便捷的解释方式。一个这样的模型可以简约的表示很多分布，特别是在领域很大的时候。另一方面，负的似然函数是凸函数也带来便利。但是即便对数线性的马尔可夫网络似然函数是凸函数，计算似然函数的梯度仍旧需要模型推理，而这样的推理通常是难以计算的。

马尔可夫网络有这样的马尔可夫性质：图的顶点u在状态${\displaystyle x_{u}}$的概率只依赖顶点u的最近临节点，并且顶点u对图中的其他任何节点是条件独立的。该性质表示为

${\displaystyle P(X_{u}=x_{u}|X_{v},v\neq u)=P(X_{u}=x_{u}|X_{v},v\in N_{u})}$

顶点u的最近临节点集合${\displaystyle N_{u}}$也称为顶点u的马尔可夫链。