高斯圓問題

考慮${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中以原點為中心和以${\displaystyle r\geq 0}$為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點${\displaystyle (m,n)}$使${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$都是整数。由於在笛卡爾坐標系中，這個圓的方程式是${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$，問題等價於詢問有多少對整數${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$使得

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

以${\displaystyle N(r)}$表示輸入為${\displaystyle r}$時的答案。以下第一行先列出${\displaystyle r}$由${\displaystyle 0}$至${\displaystyle 12}$時，${\displaystyle N(r)}$的值，第二行列出${\displaystyle \pi r^{2}}$四捨五入到最接近的整數，以作比較：

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 （OEIS數列A000328）

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 （OEIS數列A075726）

${\displaystyle N(r)}$大概是${\displaystyle \pi r^{2}}$ ，半徑範圍內的區域${\displaystyle r}$ 。這是因為平均而言，每個單位正方形包含一個格子點。因此，圓中格子點的實際數量大約等於其面積， ${\displaystyle \pi r^{2}}$ 。因此，應該預期

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$

對於某些錯誤項${\displaystyle E(r)}$具有相對較小的絕對值。找到正確的上限${\displaystyle \mid E(r)\mid }$因此是問題採取的形式。注意${\displaystyle r}$不必是整數。後${\displaystyle N(4)=49}$一個有${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}$在這些地方${\displaystyle E(r)}$之後它減少（以${\displaystyle 2\pi r}$ ），直到下一次增加為止。

高斯設法證明[1]

${\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

谢尔品斯基将指數改进至${\displaystyle 2/3}$，以大O符号表示，即證明${\displaystyle |E(r)|=O(r^{2/3})}$，约翰内斯·范德科皮特引进了他关于外尔和的估计，从而证明了指數為${\displaystyle 37/56}$的結果（此數略小於${\displaystyle 2/3}$）。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指數為${\displaystyle 13/20}$與${\displaystyle 24/37}$的上界。[2]

未解決的數學問題：設${\displaystyle E(r)}$表示以原點為圓心，${\displaystyle r}$為半徑的圓，其面積與圓內整點數之差，則使${\displaystyle |E(r)|=O(r^{t+\varepsilon })}$對一切${\displaystyle \varepsilon >0}$皆成立的最小${\displaystyle t}$值為何？

下界方面，哈代[3]和Landau分別獨立證明

${\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

其中用到小o表示。據推測[4]，正確的界線是

${\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$

設${\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}$總成立，則關於${\displaystyle t}$的最小可能值${\displaystyle t_{0}}$，目前所知的結果是

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t_{0}\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}$

其中下界是1915年Hardy和Landau所證，上界於2000年由馬丁·赫克斯利证明。[5]

${\displaystyle N(r)}$的值可以由幾個形式給出，例如以下取整函數表示成以下和式： [6]

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

這是雅可比二平方和定理的結果，該定理來自雅可比三重積。[7]

如果將平方和函數${\displaystyle r_{2}(n)}$定義為將自然數${\displaystyle n}$寫為兩個整數平方之和的方法數，則${\displaystyle r_{2}(n)/4}$是一个积性函数[8]，且可寫出較簡單的和式：[1]

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)}$

Hardy首次發現了以下的最新成果： [9]

${\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}$

其中${\displaystyle J_{1}}$表示第一種階數為1的貝塞爾函數。

儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數，但沒有理由不考慮其他形狀，例如圓錐形。的確，狄利克雷（Dirichlet）的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣，可以將問題從二維擴展到更高的維度，並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一，則可能會增加問題中出現的指數，從平方到立方，甚至更高次方。

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.