高斯定律

給予空間的某個區域內，任意位置的電場。原則上，應用高斯定律，可以很容易地計算出電荷的分佈。只要積分電場於任意區域的表面，再乘以真空電容率，就可以得到那區域內的電荷數量。

但是，更常遇到的是逆反問題。給予電荷的分佈，求算在某位置的電場。這問題比較難解析。雖然知道穿過某一個閉合曲面的電通量，這資料仍舊不足以解析問題。在閉合曲面任意位置的電場可能會是非常的複雜。

假若，問題本身顯示出某種對稱性，促使在閉合曲面位置的電場大小變得均勻。那麼，就可以藉著這均勻性來計算電場。像圓柱對稱、平面對稱、球對稱等等，這些空間的對稱性，都能幫助高斯定律來解析問題。若想知道怎樣利用這些對稱性來計算電場，請參閱高斯曲面（）。

自由電荷是自由移動，不被束縛於原子或分子內的電荷；而束縛電荷則是束縛於原子或分子內的電荷。當遇到涉及電介質的問題時，才需要考慮到束縛電荷所產生的效應。當電介質被置入於外電場時，電介質內的束縛電荷會被外電場影響，雖然仍舊束縛於其微觀區域（原子或分子），但會做微小位移。所有這些微小位移的貢獻造成了宏觀的電荷分佈的改變。

雖然微觀而言，不論是自由電荷，還是束縛電荷，本質上都是電荷。實際而言，對於某些案例，使用自由電荷的概念可以簡化問題的解析。但有時候，由於問題比較複雜，缺乏對稱性，必需採用其它方法來解析問題。

對於空間內的任意體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ ，其表面 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ，這個高斯定律表述，可以用積分形式的方程式表達為

${\displaystyle \iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {D} \cdot \mathrm {ds} =Q_{\mathrm {free} }}$ ;

其中，${\displaystyle \mathbf {D} }$ 为电位移， ${\displaystyle {\textrm {ds}}}$ 为閉合曲面 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 的微分面积，由曲面向外定义为其方向，${\displaystyle Q_{\mathrm {free} }}$ 是在體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內的自由電荷數量。

只涉及自由電荷，這個高斯定律表述的微分形式可以表達為

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }}$

其中，${\displaystyle \rho _{\mathrm {free} }}$ 是自由電荷密度，完全不包括束縛電荷。

請注意，在某種狀況下，雖然區域內可能沒有自由電荷，${\displaystyle \rho _{\mathrm {free} }=0}$ 。但是，這並不表示电位移等於 0 。因為，

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$ 是電極化強度。

取旋度於方程式的兩邊，

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {D} =\mathbf {\nabla } \times \epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {\nabla } \times \mathbf {P} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {P} }$ 。

所以，电位移很可能不等於 0 。最典型的例子是永電體。

在數學裏，高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用散度定理來證明。

兩種高斯定律數學等價的證明

本段落證明高斯定律對於總電荷的方程式 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}}$ ， 等價於高斯定律對於自由電荷的方程式 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$ 。 請注意，這裏只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件。因為，根據散度定理，兩種高斯定律的方程式，其微分形式都分別等價於積分形式。 電位移 ${\displaystyle \mathbf {D} }$ 的定義式為 ${\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$ ； 其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$ 是電極化強度。 束縛電荷密度 ${\displaystyle \rho _{bound}}$ 的定義式為（請參閱電極化） ${\displaystyle \rho _{bound}\ {\stackrel {def}{=}}\ -\nabla \cdot \mathbf {P} }$ 。 注意到 ${\displaystyle \rho }$ 是總電荷密度： ${\displaystyle \rho =\rho _{free}+\rho _{bound}=\rho _{free}-\nabla \cdot \mathbf {P} =\rho _{free}-\nabla \cdot \mathbf {D} +\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} }$ 。 稍加編排， ${\displaystyle \rho -\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{free}-\nabla \cdot \mathbf {D} }$ 。 所以，${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}}$ 若且唯若 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{free}}$ 。兩個方程式等價[1]。

線性電介質有一個簡單良好的性質，其 ${\displaystyle \mathbf {D} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ 的關係方程式為

${\displaystyle \epsilon \mathbf {E} =\mathbf {D} }$ ；

其中，${\displaystyle \epsilon }$ 是物質的電容率。

對於線性電介質，又有一對等價的高斯定律表述：

${\displaystyle \iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '={\frac {Q_{\mathrm {free} }}{\epsilon }}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {free} }}{\epsilon }}}$ 。

庫侖定律闡明，一個固定的點電荷的電場是

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q'}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ ；

其中，${\displaystyle q'}$ 是點電荷，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是電場位置，${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 是點電荷位置。

根據這方程式，計算位於 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 的無窮小電荷元素所產生的位於 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 的電場，積分體積曲域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內所有的無窮小電荷元素，可以得到電荷分佈所產生的電場：

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

取這方程式兩邊對於 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 的散度：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} ')\nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

注意到

${\displaystyle \nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$ ；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$是狄拉克δ函數。

所以，${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )}$ 的散度是

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} ')\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

利用狄拉克δ函數的挑選性質，可以得到高斯定律的微分形式：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=\rho (\mathbf {r} )/\epsilon _{0}}$ 。

或者可以这样得到高斯定理的积分形式：

点电荷电场通过面元的电通量为

${\displaystyle \mathrm {d} \Phi _{E}={\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {{\boldsymbol {e}}_{r}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}{r^{2}}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\mathrm {~d} \Omega }$

对于单点电荷情形，

( i ) 在高斯面内，${\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{S}\mathrm {~d} \Omega ={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$

( ii ) 在高斯面外，${\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{S}\mathrm {~d} \Omega =0}$

故可以得到，${\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{i\in S_{inside}}q_{i}}$ ，即${\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {Q_{enc}}{\varepsilon _{0}}}}$

若包围在S面内的电荷具有一定体分布，电荷体密度为${\displaystyle \rho }$，则高斯定理可写成：

${\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V}$

由於庫侖定律只能應用於固定不動的電荷，對於移動電荷，這導引不能証明高斯定律成立。事實是，對於移動電荷，高斯定律也成立。所以，從這角度來看，高斯定律比庫侖定律更一般化。

嚴格地說，從高斯定律不能從數學推導出庫侖定律，高斯定律並沒有給出任何關於電場的旋度的資料（參閱亥姆霍茲定理和法拉第電磁感應定律）。但是，假若能夠添加一個對稱性假定，即電荷造成的電場是球對稱的（就像庫侖定律本身一樣，在固定不動電荷的狀況，這假設是正確的；在移動電荷的狀況，這假設是近乎正確的），那麼，就可以從高斯定律推導出庫侖定律。

高斯定律的方程式為

${\displaystyle \iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '=Q/\epsilon _{0}}$ 。

設定高斯定律積分的曲面 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 為一個半徑 ${\displaystyle r}$ 圓球面，圓心位置在電荷 ${\displaystyle Q}$ 的位置。那麼，由於球對稱性，${\displaystyle \mathbf {E} =E(r){\hat {\mathbf {r} }}}$ ，${\displaystyle E(r)}$ 與 ${\displaystyle d\mathbf {a} '}$ 無關，可以將 ${\displaystyle E(r)}$ 從積分內提出：

${\displaystyle \iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '=E(r)\iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset {\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '=E(r)\iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathrm {d} a=4\pi r^{2}E(r)=Q/\epsilon _{0}}$ 。

所以，庫侖定律成立：

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$ 。