高斯-博内定理

设${\displaystyle M}$是一个紧的二维黎曼流形，${\displaystyle \partial M}$是其边界。令${\displaystyle K}$为${\displaystyle M}$的高斯曲率，${\displaystyle k_{g}}$为${\displaystyle \partial M}$的测地曲率。则有

${\displaystyle \int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,}$

其中dA是该曲面的面积元，ds是M边界的线元。此处${\displaystyle \chi (M)}$是${\displaystyle M}$的欧拉示性数。

如果${\displaystyle \partial M}$的边界是分段光滑的，我们将${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\;ds}$视作光滑部分相应的积分之和，加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。

• 陳-高斯-博内定理

• 高斯-博内定理 （页面存档备份，存于）