黄金三角形

黄金三角形内的等角螺线

如图所示：通过黄金三角形做出等角螺线，方法是不断地作出72度底角的平分线，通过连接作出的小黄金三角形的两个底端点便可以看到其中蕴含的等角螺线。

如图为一个五角星,五角星的每一个角上都是一个黄金三角形

五角星中也有黄金三角形。五角星每一个角都为36度，即每一个角上都有一个黄金三角形。

通过黄金三角形，我们可以轻易地求出以下三角函数值：

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}}$

• 黄金矩形
• 黄金菱形
• 开普勒三角
• 黄金分割