黎曼映射定理

設${\displaystyle D:=\{z\in \mathbb {C}$ :|z|<1\}} 為開圓盤，${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$為單連通開子集。若${\displaystyle \Omega \neq \mathbb {C} }$，則存在一對一的全純映射${\displaystyle f:\Omega \to D}$，使${\displaystyle f^{-1}:D\to \Omega }$亦全純。換言之，${\displaystyle \Omega }$與${\displaystyle D}$ 双全純同構。

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射，它保持角度與定向不變。

黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果，但其證明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年發表了第一個完整證明。

• 黎曼映射定理乃是存在性定理，一般無法具體表示從${\displaystyle \Omega }$至${\displaystyle D}$的全純映射。
• 定理中對${\displaystyle \Omega }$的條件極寬鬆；舉例明之，${\displaystyle \Omega }$的邊界可能是碎形曲線，但${\displaystyle \Omega }$仍可透過共形映射映至單位圓盤，這在直觀上是很難想像的。
• 此定理對${\displaystyle \pi _{1}(\Omega ,*)=\mathbb {Z} }$時即告失效：環型區域（形如${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :r<|z|<R\}}$）之間的共形映射僅有反演、縮放與旋轉。
• 此定理在更高維度即不成立。
• 在黎曼曲面的框架下，此定理可推廣為單值化定理：單連通黎曼曲面必同構於${\displaystyle \mathbb {C} ,D}$或${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$。

给定${\displaystyle U}$和${\displaystyle z_{0}}$，我们希望构造一个函数${\displaystyle f}$，它把${\displaystyle U}$映射到单位圆盘，把${\displaystyle z_{0}}$映射到${\displaystyle 0}$。在这个证明概要中，我们假设${\displaystyle U}$是有界的，且其边界是光滑的，就像黎曼所做的那样。记

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})\exp(g(z))\,\!}$

其中${\displaystyle g=u+iv}$是某个（待确定的）全纯函数，其实数部分为${\displaystyle u}$，虚数部分为${\displaystyle v}$。于是显然z₀是f的唯一一个零点。我们要求对于${\displaystyle U}$的边界上的${\displaystyle z}$有${\displaystyle |f(z)|=1}$，因此我们需要在边界上有${\displaystyle u(z)=-\log |z-z_{0}|}$。由于${\displaystyle u}$是全纯函数的实数部分，我们知道${\displaystyle u}$一定是一个调和函数，也就是说，它满足拉普拉斯方程。

于是问题变为：存在某个实值调和函数${\displaystyle u}$，对所有的${\displaystyle U}$都有定义，且具有给定的边界条件吗？狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在，全纯函数${\displaystyle g}$的柯西-黎曼方程便允许了我们求出${\displaystyle v}$（这个论证依赖于${\displaystyle U}$是单连通的假设）。一旦构造了${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$，我们还需要验证所得到的函数${\displaystyle f}$确实满足所有需要的性质。

• John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
• John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
• Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
• Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse（页面存档备份，存于）, Göttingen, 1851