梅滕斯猜想

数论中，有梅滕斯函数

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

其中，${\displaystyle \mu (k)}$表示默比乌斯函数。则梅滕斯猜想是指，对所有${\displaystyle n>1}$，有

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}.\,}$

湯姆斯·斯蒂爾吉斯在1885年聲稱已證明比梅滕斯猜想要弱的結果，也就是${\displaystyle m(n)\equiv M(n)/{\sqrt {n}}}$有界，但其結果沒有發表[1]（若用${\displaystyle m(n)}$的方式表示，梅滕斯猜想是指${\displaystyle -1<m(n)<1}$）

安德鲁·奥德里兹科与赫尔曼·特里尔在1985年證否了梅滕斯猜想，用的是LLL格缩减算法[2][3]：

${\displaystyle \liminf ~m(n)<-1.009\quad }$ and ${\displaystyle \quad \limsup ~m(n)>1.06~}$

之後也證實了第一個反例小於 ${\displaystyle ~e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}~}$[4]，大於10¹⁶[5]，後來的上限已降到${\displaystyle ~e^{1.59\times 10^{40}}~}$[6]或近似${\displaystyle ~10^{6.91\times 10^{39}}~,}$，但還沒找到確切的反例數值。

• T. Kotnik and Herman te Riele (2006), "The Mertens Conjecture Revisited", Lecture Notes in Computer Science 4076 (Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium), pp. 156-167.
• T. Kotnik and J. van de Lune (2004), "On the order of the Mertens function", Experimental Mathematics 13, pp. 473-481
• F. Mertens (1897), "Über eine zahlentheoretische Funktion", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a, 106, pp. 761-830.
• Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J., (PDF), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985, 357: 138–160 [2012-09-08], ISSN 0075-4102, doi:10.1515/crll.1985.357.138, MR783538, （原始内容存档 (PDF)于2015-09-12）
• Stieltjes, T. J., , Baillaud, B.; Bourget, H. (编), , Paris: Gauthier—Villars: 160–164, 1905
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (编), , Dordrecht: Springer-Verlag: 187–189, 2006, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300
• Pintz, J. (PDF). Astérisque. 1987,. 147–148: 325–333 [2021-10-16]. Zbl 0623.10031. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-15）.