72法則
數值選擇
使用72作為分子是因為它有較多因數,容易被整除。它的因數有1、2、3、4、6、8、9和12。不過,視乎增減率及時期,其他數值會較為合適。
一般息率或年期的複利
使用72作為分子足夠計算一般息率(由6至10%),但對於較高的息率,準確度會降低。
低息率或逐日複利
對於低息率或逐日複利,69.3會提供較準確的結果(因為ln(2)約莫等於69.3%,參見下面「原理」)。對於少過6%的計算,使用69.3也會較為準確。
高息率計算的調整
對於高息率,較大的分子會較理想,如若要計算20%,以76除之得3.8,與實際數值相差0.002,但以72除之得3.6,與實際值相差0.2。若息率大過10%,使用72的誤差介乎2.4%至−14.0%。若計算涉及較大息率(r),以作以下調整:
- (近似值)
若計算逐日複息,則可作以下調整:
- (近似值)
E-M法則
E-M法則對使用69.3或70(但非72)時的計算作出修正,擴大計算的應用範圍。如在69.3法則使用E-M修正,計算0-20%的增減率時也會相當準確,就算69.3本來只適合計算0-5%的息率。
E-M法則公式如下:
- (近似值)
舉個例,若利率為18%,69.3法則得出的將金額倍增的年期為3.85,但通過E-M法則,乘以200/(200-18),得4.23年,較接近實際年期4.19。
Padé近似式(Padé approximant)給出的結果更為準確,但算式則較為複雜:
- (近似值)
比較
以下表格比較了以上提及各法則的計算結果:
年息 | 實際年期 | 72法則 | 70法則 | 69.3法則 | E-M法則 |
---|---|---|---|---|---|
0.25% | 277.605 | 288.000 | 280.000 | 277.200 | 277.547 |
0.5% | 138.976 | 144.000 | 140.000 | 138.600 | 138.947 |
1% | 69.661 | 72.000 | 70.000 | 69.300 | 69.648 |
2% | 35.003 | 36.000 | 35.000 | 34.650 | 35.000 |
3% | 23.450 | 24.000 | 23.333 | 23.100 | 23.452 |
4% | 17.673 | 18.000 | 17.500 | 17.325 | 17.679 |
5% | 14.207 | 14.400 | 14.000 | 13.860 | 14.215 |
6% | 11.896 | 12.000 | 11.667 | 11.550 | 11.907 |
7% | 10.245 | 10.286 | 10.000 | 9.900 | 10.259 |
8% | 9.006 | 9.000 | 8.750 | 8.663 | 9.023 |
9% | 8.043 | 8.000 | 7.778 | 7.700 | 8.062 |
10% | 7.273 | 7.200 | 7.000 | 6.930 | 7.295 |
11% | 6.642 | 6.545 | 6.364 | 6.300 | 6.667 |
12% | 6.116 | 6.000 | 5.833 | 5.775 | 6.144 |
15% | 4.959 | 4.800 | 4.667 | 4.620 | 4.995 |
18% | 4.188 | 4.000 | 3.889 | 3.850 | 4.231 |
原理
定期複利
定期複利的將來值(FV)為:
當中PV為現在值、t為期數、r為每一期的利率。
當該筆投資倍增,則FV = 2PV。代入上式後,可簡化為:
解方程式,t為:
若r數值較小,則ln(1+r)約等於r(這是泰勒级数的第一項);加上ln(2) ≈ 0.693147,於是:
連續複利
連續複利的計算較為簡單:
可得
可得
右項上下乘以100,然後以70作為69.3147的近似值:
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