abc猜想

對正整數${\displaystyle n}$，${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$表示${\displaystyle n}$的質因數的積，稱為${\displaystyle n}$的根基（radical）。例如

rad(16) = rad(2⁴) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整數a, b, c 彼此互質，且a + b=c，「通常」會有c < rad(abc)，例如：

${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=7}$, ${\displaystyle c=9}$：${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=42>c}$。

${\displaystyle a=9}$, ${\displaystyle b=16}$, ${\displaystyle c=25}$：${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30>c}$。

但是也有反例，例如：

${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b=125}$, ${\displaystyle c=128}$：因為${\displaystyle 125=5^{3}}$，${\displaystyle 128=2^{7}}$，故此${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30<c}$。

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使rad(abc) < c，是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想（一）

對於任何${\displaystyle \varepsilon >0}$，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }}$

abc猜想也有以下等價的表述方式：

abc猜想（二）

對於任何${\displaystyle \varepsilon >0}$，存在常數${\displaystyle C_{\varepsilon }>0}$，使得對於互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，有：

${\displaystyle c<C_{\varepsilon }\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon },}$

abc猜想第三個表述方式，用到了三元組(a, b, c)的品質（quality），定義為：

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$

例如：

• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。

abc猜想（三）

對於任何${\displaystyle \varepsilon >0}$，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

${\displaystyle q(a,b,c)>1+\epsilon }$

abc猜想中的ε不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子：

${\displaystyle a_{n}=3^{2^{n}}-1}$, ${\displaystyle b_{n}=1}$, ${\displaystyle c_{n}=3^{2^{n}}}$

這三個正整數互質，且有${\displaystyle a_{n}+b_{n}=c_{n}}$。注意到${\displaystyle a_{n}}$可被${\displaystyle 2^{n+2}}$整除，因此有

${\displaystyle \operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}}$:

因此

${\displaystyle c_{n}>a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})}$

當n趨向無限大時，${\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{3}}}$也趨向無限大。因此不存在常數C，使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。

如果abc猜想得證，那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果，在abc猜想提出後，已經以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。

• Thue–Siegel–Roth定理
• 費馬大定理對所有足夠大指數的情形（安德魯·懷爾斯已證一般情形） （Granville 2002）
• Mordell猜想（格爾德·法爾廷斯已證一般情形）（Elkies 1991）
• Erdős–Woods猜想，除了有限多的反例。（Langevin 1993）
• 存在無限多非維費里希素數（Silverman 1988）
• Marshall Hall猜想的弱形式（Nitaj 1996）
• 費馬－卡塔蘭猜想（Pomerance 2008）
• 用勒讓德符號構成的L函數L(s, χ_d)沒有西格尔零点（需要abc猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）（Granville 2000）
• 對有至少3個簡單零點的多項式P(x)，在整數x取的所有值中，只有有限個次方數。[1]
• Tijdeman定理的推廣形式，關於y^m = xⁿ + k的解的個數（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關於Ay^m = Bxⁿ + k的解的個數。
• 等價於Granville–Langevin 猜想[2][3]
• 等價於修改後的Szpiro猜想（Oesterlé 1988）
• Brocard問題n! + A= k²，對任何給定的整數A，都只有有限個解。（Dąbrowski 1996）

abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下：

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$ （Stewart & Tijdeman 1986）,

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$ （Stewart & Yu 1991）,

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon }\right)}}$ （Stewart & Yu 2001）.

上述的上界中，K₁是不依賴a, b, c的常數，而K₂和K₃是（以可有效計算的方式）依賴於ε的常數，但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

2006年，荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作，開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想，但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式，可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的q是上節定義的品質。

截至2014年4月 (2014-04)，ABC@Home找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出c不大於2⁶³的所有三元組(a,b,c)。[5]

1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$用${\displaystyle \varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)}$取代，在此${\displaystyle \omega }$是${\displaystyle a,b,c}$的不同質因數的數目。

2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。[7]

2012年8月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎[8][9][10]。該證明目前正由其他數學專家檢查中。[11]当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果[12]。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，當中很多也是打字错误[13]。望月新一在網上公開了2013年[14]以及2014年[15]的檢驗進度報告。2018年8月，皮特·舒爾策和Jakob Stix指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。[16]望月認為二者的批評存在“某種根本上的誤解”。[17]

• 根基
• Mason-Stothers定理—多項式環上的對應定理

• ABC@home（页面存档备份，存于） 分布式计算项目ABC@Home.
• Easy as ABC（页面存档备份，存于）: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
• Bart de Smit's ABC Triples webpage（页面存档备份，存于）
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf（页面存档备份，存于）
• The amazing ABC conjecture（页面存档备份，存于）
• The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
• Questions about Number（页面存档备份，存于） by Barry Mazur
• Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture（页面存档备份，存于） on MathOverflow
• ABC Conjecture（页面存档备份，存于） Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.