根基

在不与开方运算里的“根（root）”的概念混淆的情况下，也常简称“根”。例如我们有

$${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

所以504的根计算如下

$${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

• ${\displaystyle rad(n)}$是積性函數。
• 對於任意整數${\displaystyle n}$而言，${\displaystyle rad(n)}$是其最大的無平方因子數因數，故${\displaystyle rad(n)}$又稱${\displaystyle n}$的無平方核心（square-free kernel）。[2]截至目前為止，並無在多項式時間內計算${\displaystyle n}$的無平方部分的算法。[3]
• ${\displaystyle rad(n)}$可推廣為${\displaystyle n}$最大的無${\displaystyle t}$次方因子數因數${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$，而${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$是一個有如下定義的積性函數：

  $${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

  

  ${\displaystyle t=3}$及${\displaystyle t=4}$的狀況分別由A007948和A058035列舉。

• 根基的表達式出現於abc猜想中，而這猜想表示說，對於任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$，都有一個${\displaystyle K_{\varepsilon }}$，使得對於任意滿足${\displaystyle a+b=c}$且互質的三元數組${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$而言，都有以下的關係：[1]

  $${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

  

• 對於任意整數${\displaystyle n}$而言，有限環${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$的所有幂零元都是${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$的倍數。
• 根基有如下的狄利克雷級數：

  ${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}$

• 理想的根

1. Gowers, Timothy. . . Princeton University Press. 2008: 681 [2020-04-08]. （原始内容存档于2021-12-23）.
2. Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
3. Adleman, Leonard M.; McCurley, Kevin S. . . Lecture Notes in Computer Science 877. Springer. : 291–322. CiteSeerX 10.1.1.48.4877 . MR 1322733. doi:10.1007/3-540-58691-1_70.