反正割

在直角三角形中，反正割定義為已知斜邊c與鄰邊b比值對應的${\displaystyle \angle A}$的大小，也就是：

${\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!}$

• 
  直角三角形，C為直角，對於角A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
• 
  直角三角形，已知斜邊斜邊為x且鄰邊為單位長

此外在直角三角形中，若已知斜邊為${\displaystyle x}$且鄰邊為單位長，${\displaystyle x}$代入反正割可求得對應的角的大小：

${\displaystyle \sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!}$

因此，根據畢氏定理可以使反正割利用其他反三角函數表示：

${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$

${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}$

若${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐标系xOy中的一個未知的象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原点O的距离，若已知${\displaystyle {\frac {r}{x}}\,\!}$，則可利用反正割求得未知的象限角${\displaystyle \alpha }$：

${\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!}$

反正割函數可以使用無窮級數定義：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}$

反正割函數的泰勒展開式為：

${\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots }$