B样条

当B样条是均匀的时候，对于给定的n，每个B样条基是其他基的平移拷贝而已。一个可以作为替代的非递归定义是

${\displaystyle b_{j,n}(t):=b_{n}(t+n-j)\qquad {\mbox{ , }}j=-1,\ldots m+1}$

满足

${\displaystyle b_{n}(t):=(m+1)\sum _{i=0}^{m+1}\omega _{i}(t_{i}-t)_{+}^{m}\qquad {\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

满足

${\displaystyle \omega _{i}:=\prod _{j=0,i\neq j}^{m+1}{\frac {1}{t_{i}-t_{k}}}}$

其中

${\displaystyle (t_{i}-t)_{+}}$

是截断幂函数（truncated power function）

常数B样条是最简单的样条。只定义在一个节点距离上，而且不是节点的函数。它只是不同节点段（knot span）的指示函数。

${\displaystyle b_{j,0}(t)=1_{[t_{j},t_{j+1})}=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {} \quad t_{j}\leq t<t_{j+1}\\0&\mathrm {...} \end{matrix}}\right.}$

线性B样条定义在两个相邻的节点段上，在节点连续但不可微。

${\displaystyle b_{j,1}(t)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {t-t_{j}}{t_{j+1}-t_{j}}}&\mathrm {if} \quad t_{j}\leq t<t_{j+1}\\{\frac {t_{j+2}-t}{t_{j+2}-t_{j+1}}}&\mathrm {} \quad t_{j+1}\leq t<t_{j+2}\\0&\mathrm {...} \end{matrix}}\right.}$

一个片断上的B样条的表达式可以写作：

${\displaystyle S_{i}(t)=\sum _{k=0}^{3}\mathbf {P} _{i-3+k}b_{i-3+k,3}(t)\qquad {\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

其中S_i是第i个B样条片断而P是一个控制点集，i和k是局部控制点索引。控制点的集合会是${\displaystyle P_{i}^{w}=(w_{i}x_{i},w_{i}y_{i},w_{i}z_{i},w_{i})}$的集合，其中${\displaystyle w_{i}}$是比重，当它增加时曲线会被拉向控制点${\displaystyle P_{i}}$，在减小时则把曲线远离该点。

片段的整个集合m-2条曲线（${\displaystyle S_{3},S_{4},...,S_{m}}$）由m+1个控制点（${\displaystyle P_{0},P_{1},...,P_{m},m\geq 3}$）定义，作为t上的一个B样条可以定义为

${\displaystyle S(t)=\sum _{i=0}^{m}\mathbf {P} _{i}b_{i,}(t)}$

其中i是控制点数，t是取节点值的全局参数。这个表达式把B样条表示为B样条基函数的线性组合，这也是这个名称的原因。

有两类B样条-均匀和非均匀。非均匀B样条相邻控制点间的距离不一定要相等。一个一般的形式是区间随着插入控制点逐步变小到0。

In Matlab，the command“spline” can be used for spline interpolation.

(Note： In the command, the cubic B-spline is used)

Cubic B-Spline Interpolation by Matlab

Generating a sine-like spline curve and samples it over a finer mesh:

x = 0:1:10; % original sampling points

y = sin(x);

xx = 0:0.1:10; % new sampling points

yy = spline(x,y,xx);

plot(x,y,'o',xx,yy)

事前安裝模組

• pip install numpy
• pip install scipy
• pip install matplotlib

Cubic B-Spline Interpolation by Python

from scipy.interpolate import interp1d

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

x = np.arange(0, 11) # original sample points, [0, 1, 2, …, 9, 10]

y = np.sin(x)

f = interp1d(x, y, kind=' cubic ') ) # Cubic means the cubic B-spline.

x_new = np.arange(0, 10.1, 0.1) # new sample points, [0, 0.1, 0.2, ….., 9.9, 10]

y_new = f(x_new)

plt.plot(x,y,'o',x_new, y_new)

plt.show()

在几何处理中，对参数曲线及曲面的求导是最基本的运算之一，由于参数表达的特性，在给定点的切线及法线可通过求导直接得到。 先来考察曲线的情形：采用本页定义中的B样条曲线表达式 ${\displaystyle \mathbf {S} (t)=\sum _{i=0}^{m}\mathbf {P} _{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}$ 对参数${\displaystyle t}$进行求导： ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\sum _{i=0}^{m}b'_{i,n}(t)\mathbf {P} _{i}}$