LL剖析器

对于给定的上下文无关文法，分析器尝试寻找该文法的最左推导。例如，给定一个文法${\displaystyle G}$：

1. ${\displaystyle S\to E}$
2. ${\displaystyle E\to (E+E)}$
3. ${\displaystyle E\to i}$

对${\displaystyle w=((i+i)+i)}$的最左推导如下：

${\displaystyle S\ {\overset {(1)}{\Rightarrow }}\ E\ {\overset {(2)}{\Rightarrow }}\ (E+E)\ {\overset {(2)}{\Rightarrow }}\ ((E+E)+E)\ {\overset {(3)}{\Rightarrow }}\ ((i+E)+E)\ {\overset {(3)}{\Rightarrow }}\ ((i+i)+E)\ {\overset {(3)}{\Rightarrow }}\ ((i+i)+i)}$

通常, 选择一条规则来展开给定的（最左的）非终结符时，有多个选择的可能。前一个关于最左推导的例子中， 在第2步：

${\displaystyle S\ {\overset {(1)}{\Rightarrow }}\ E\ {\overset {(?)}{\Rightarrow }}\$ ?}

我们有两条规则可以选择：

为了提高分析的效率，分析器必须能够尽可能确切地、无回溯地进行规则的选择。对于一些文法，它可以透過偷看不回推（即读取之后不将它退回输入流）的输入符号来做到这点。在我们的例子中，如果分析器知道下一个无回推符号是 ${\displaystyle (}$ ，那么唯一正确可用的就是规则 2。

通常，${\displaystyle LL(k)}$ 分析器可以向前探查 ${\displaystyle k}$ 个符号。然而，给定一个文法，若存在一个能识别该文法 ${\displaystyle LL(k)}$ 分析器，则其 ${\displaystyle k}$ 值的确定问题是不可判定的。也就是说，无法判定需要向前探查多少个符号才能识别它。对于每一个 ${\displaystyle k}$ 的取值，总存在无法被 ${\displaystyle LL(k)}$ 分析器识别的语言，而 ${\displaystyle LL(k+1)}$ 分析器却可以识别它。

通过上述梗概，下面我们给出 ${\displaystyle LL(k+1)}$ 的形式化定义：

设 ${\displaystyle G}$ 是一个上下文无关文法，且 ${\displaystyle k\geq 1}$。对于任意两个最左推导，当且仅当满足下述条件时，我们称 ${\displaystyle G}$ 是 ${\displaystyle LL(k)}$ 文法：

1. ${\displaystyle S\ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wA\alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ w\beta \alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wx}$
2. ${\displaystyle S\ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wA\alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ w\gamma \alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wy}$

以下条件成立：串 ${\displaystyle x}$ 中长度为 ${\displaystyle k}$ 的前缀等价于串 ${\displaystyle y}$ 中长度为 ${\displaystyle k}$ 的前缀，表明 ${\displaystyle \beta \ =\ \gamma }$.

在该定义中， ${\displaystyle S}$ 文法的开始符号， ${\displaystyle A}$ 是任意非终结符。之前取得的输入 ${\displaystyle w}$，以及还没回推的 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 均为终结符串。希腊字母 ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ 和 ${\displaystyle \gamma }$ 代表任意终结符和非终结符组成的串（也可能是空串）。前缀长度与用于保存向前探查结果的缓冲区尺寸一致，并且该定义表明了，缓冲区足以区分任意两个不同单词的推导。

本分析器可以处理特定形式文法的符号串。

本分析器由以下部件組成：

• 一个输入缓冲区，存放输入符号串（由语法建立的）。
• 一个分析栈，用于储存等待处理的终结符与非终结符的。
• 一张分析表，标记了是否存在可用于目前分析栈与下一个输入符号的语法规则。

分析器根据分析栈的栈顶符号（行）以及当前输入流中的符号（列）来决定使用哪一条规则。

当分析器一开始执行时，分析栈中已经有两个符号：

[ S, $ ]

'$'时一个特殊的终结符，用于表示分析栈的栈底或者输入的结束；而'S'则时文法的开始符号。分析器会尝试根据它在输入流中看到的符号来改写分析栈中的数据，但只会将仍需修改的数据存回分析栈中。

[ (, S, +, F, ), $ ]

[ S, +, F, ), $ ]

[ F, +, F, ), $ ]
[ 1, +, F, ), $ ]

[ F, ), $ ]

在這個例子中，剖析器接受了輸入資料，並產生以下輸出（規則的代號）：

[ 2, 1, 3, 3 ]

這的確是從輸入的左邊優先推導。我們可以看出由左至右的輸入順序為：

S → ( S + F ) → ( F + F ) → ( 1 + F ) → ( 1 + 1 )

由以上範例可以看出剖析器根據堆疊最上層為非終端符號、終端符號、還是特殊符號$來決定採取三種不同的步驟：

• 若堆疊最上層為非終端符號，則根據輸入資料流中的符號對照剖析表，決定要用語法中的哪條規則來取代堆疊中的資料，順帶輸出規則的號碼。若表格中並沒有這麼個規則，則回報錯誤並終止執行。
• 若堆疊最上層為終端符號，則與輸入資料流中的符號比較。若相同則移除，若不同則回報錯誤並終止執行。
• 若堆疊最上層為'$'，並且輸入資料流中也是'$'，則表示剖析器成功的處理了輸入，否則將回報錯誤。不管怎樣，最後剖析器都將終止執行。

這些步驟會持續到輸入結束，然後剖析器成功處理了一則左邊優先推導，或者會回報錯誤。

為了要填滿剖析表格，我們必須決定剖析器在堆疊看到非終端(nonterminal)符號A又在輸入資料流看到a的時候應該選用哪一條文法規則。我們可以輕鬆的發現到這種規則應該有A → w一類的格式，並且語言中的w應至少有一個字串由a開頭。為了這個目的，我們設定 第一個集合(first set)的w，記作Fi（w），表示可以在w中找到的所有字串的集合，如果空字串也屬於w的話還要再加上ε。而透過文法規則A₁ → w₁, ..., A_n → w_n，就可以使用以下方法演算每條規則的Fi(w_i)及Fi(A_i)了：

1. 將每個Fi(w_i)及Fi(A_i)初始成空集合
2. 將Fi(w_i)加入每條A_i → w_i規則中的Fi(A_i)，Fi定義如下：
   • 所有的a皆為終端符號時，Fi（a w' ）= { a }
   • Fi（A）不包含ε時，相對於每個非終端符號A，Fi（A w' ）= Fi（A）
   • Fi（A）包含ε時，相對於每個非終端符號A，Fi（A w' ）= Fi（A）\ { ε } ∪ Fi（w' ）
   • Fi(ε) = { ε }
3. 針對每條A_i → w_i規則，將Fi(w_i)加入Fi(Ai)
4. 重複步驟2與步驟3，直到所有Fi集合固定下來。

不幸的是，第一集合還不夠用來產生出剖析表。由於規則中右手邊的w可能無限制的被覆寫成空字串，所以剖析器也在ε位於Fi（w）並且輸入資料流中的符號可以符合A的時候套用A → w。所以還需要一個記作Fo（A）的A的跟隨集合(follow set)，表示可以由開始的符號衍生出αAaβ字串的終端符號a的集合。非終端符號的跟隨集合可以用以下方法得出：

1. 將每個Fo(A_i)初始成空集合
2. 若存在A_j → wA_iw' 格式的規則，則
   • 若終端符號a存在Fi（w' ）中，則將a加入Fo(A_i)
   • 若ε存在Fi（w' ）中，則將Fo(A_j)加入Fo(A_i)
3. 重複步驟2直到所有Fo集合固定下來

現在我們可以清楚定義每條規則要放在剖析表的哪裡了。若T[A,a]用以表示表格中代表非終端符號A及終端符號a的規則，則

T[A,a]包含A → w規則，若且唯若

a在Fi（w）之中，或

ε在Fi（w）之中，且a在Fo（A）之中。

若表格的每格中都僅包含一個規則，則剖析器總是知道該套用什麼規則，所以可在不用回溯的前提下剖析字串。在此情形下，這個語法可以稱為LL(1)語法。

剖析表格可能（一般來說，在最差狀況下）必須有k次的指數複雜度的觀念在1992年左右PCCTS發表後改觀，它示範了許多程式語言可以用LL(k)來有效率的處理，而不會觸發剖析器的最差狀況。再者，在某些必須無限前瞻的狀況下，LL剖析也是合理的。相反的，傳統剖析器產生器，如yacc使用LALR(1)剖析表格建立被限制的LR剖析器，這種剖析器只能向後看固定的一個語彙符號。

• 編譯器剖析器比較表
• 抽象語法樹
• 由上而下剖析
• 由下而上剖析

• An easy explanation of First and Follow Sets （页面存档备份，存于）（使用一種比c較直觀的方法解釋產生First與Follow集合的過程）
• A tutorial on implementing LL(1) parsers in C#