Phi相關係數

在統計學裡，「Phi相關係數」（英語：）（符號表示為： $\phi$ 或 $r_{\phi }$ ）是測量兩個二元變數（英語：）之間相關性的工具，由卡爾·皮爾森所發明 [1]。他也發明了與Phi相關係數有密切關聯的皮爾森卡方檢定（英語：。一般所稱的卡方檢定，若未明指種類，即指此），以及發明了測量兩個連續變數之間相關程度的皮爾森積差相關係數（英語：。一般所稱的相關係數，若未明指種類，即指此）。

Phi 相關係數在機器學習的領域又稱為Matthews相關係數。

定義

首先將兩個變數排成2×2列聯表，注意 1 和 0 的位置必須如同下表，若只變動 X 或只變動 Y 的 0/1 位置，計算出來的Phi相關係數會正負號相反。Phi相關係數的基本概念是：兩個二元變數的觀察值若大多落在2×2列聯表的「主對角線」（英語：：左上－右下線）欄位，亦即若觀察值大多為 $(X,Y)=(1,1),(0,0)$ 這兩種組合，則這兩個變數呈正相關。反之，若兩個二元變數的觀察值大多落在「非對角線」（英語：：主對角線以外的位置）欄位，對應於2×2列聯表，亦即若觀察值大多為 $(X,Y)=(0,1),(1,0)$ 這兩種組合，則這兩個變數呈負相關。例如我們從兩個隨機二元變數（X, Y）抽樣得出這樣的2×2列聯表：

	y = 1	y = 0	總計
x = 1	$n_{11}$	$n_{10}$	$n_{1\bullet }$
x = 0	$n_{01}$	$n_{00}$	$n_{0\bullet }$
總計	$n_{\bullet 1}$	$n_{\bullet 0}$	$n$

其中 n₁₁, n₁₀, n₀₁, n₀₀都是非負數的欄位計次值，它們加總為 $n$ ，亦即觀察值的個數。由上面的表格可以得出 X 和 Y 的 Phi相關係數如下：

\phi ={\frac {n_{11}n_{00}-n_{10}n_{01}}{\sqrt {n_{1\bullet }n_{0\bullet }n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}}}

實例

研究者欲觀察性別與慣用手的相關性。虛無假設是：性別與慣用手無相關性。觀察對象是隨機抽樣出來的個人，身上有兩個二元變數（性別 X ，慣用手 Y），X 有兩種結果值（男=1／女=0），Y也有兩種結果值（右撇子=1／左撇子=0）。

觀察兩個二元變數的相關性可以使用Phi相關係數。假設簡單隨機抽樣100人，得出如下的2×2列聯表：

	男=1	女=0	總計
右=1	43	44	87
左=0	9	4	13
總計	52	48	100

本例的Phi相關係數：

\phi ={(43\times 4-44\times 9) \over {\sqrt {87\times 13\times 48\times 52}}}=-0.133

本處暫不介紹Phi相關係數的顯著性檢定，僅簡介其詮釋：假設−0.133的相關係數檢定為顯著，在本例對變數 1/0 的指定下，代表身為男性與身為右撇子有輕微的負相關，也就是男性右撇子的比例略低於女性右撇子的比例；或者反過來說，男性左撇子的比例略高於女性左撇子的比例。

與Pearson相關係數的異同

「Phi相關係數」與「Pearson相關係數」在詮釋上非常類似；事實上，使用Pearson相關係數來計算兩個二元變數（各輸入成1/0）之間的相關性時，就會得出Phi相關係數[2] 。

儘管Phi相關係數只是把Pearson相關係數簡化為兩個二元變數的情況，但詮釋這兩種相關係數時仍必須注意其差別。Pearson相關係數的值從−1 到 +1，±1 是其兩個端點，指出完全正相關與完全負相關，0則是無相關。Phi相關係數的極值則受到兩個變數各別的二元結果比例所影響，當兩個變數的二元結果都是50:50時，Phi值才會從−1 到 +1。[3]

與Pearson卡方統計值的關係

一個2×2列聯表的卡方統計值（ $\chi ^{2}$ ），與Phi相關係數呈下述關係[4]：

\phi ^{2}={\frac {\chi ^{2}}{n}}

其中

n

是觀察值的個數。

亦參見

Phi相關係數的網頁版計算器（页面存档备份，存于）（還有許多的基礎統計教材和計算器）。
列聯表
Matthews相關係數
Cramér's V：類別變數間相關性的另一個測量法。
Polychoric相關：當兩個連續變項被人為地改成二分變項時，求其相關性。其中一種是「四分相關」。

註腳

Cramer, H. 1946. Mathematical Methods of Statistics. Princeton: Princeton University Press, p282 (second paragraph). ISBN 0-691-08004-6
Guilford, J. (1936). Psychometric Methods. New York: McGraw–Hill Book Company, Inc.
詳見：Davenport, E., & El-Sanhury, N. (1991). Phi/Phimax: Review and Synthesis. Educational and Psychological Measurement, 51, 821–828.
Everitt B.S. (2002) The Cambridge Dictionary of Statistics, CUP. ISBN 0-521-81099-X

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[1] Cramer, H. 1946. Mathematical Methods of Statistics. Princeton: Princeton University Press, p282 (second paragraph). ISBN 0-691-08004-6

[2] Guilford, J. (1936). Psychometric Methods. New York: McGraw–Hill Book Company, Inc.

[3] 詳見：Davenport, E., & El-Sanhury, N. (1991). Phi/Phimax: Review and Synthesis. Educational and Psychological Measurement, 51, 821–828.

[4] Everitt B.S. (2002) The Cambridge Dictionary of Statistics, CUP. ISBN 0-521-81099-X