拓扑学

非正式地說，「拓撲」是指一個集合裡的元素之間空間上的關連。相同的集合可以有不同的拓撲。例如，實數線、複平面及康托爾集可被視為具有不同拓撲的相同集合。

形式上來看，令 ${\displaystyle X}$ 為一集合，且 ${\displaystyle \tau }$ 為 ${\displaystyle X}$ 的子集族；則 ${\displaystyle \tau }$ 稱之為「${\displaystyle X}$ 上的拓撲」，若：

1. 空集合與 ${\displaystyle X}$ 均為 ${\displaystyle \tau }$ 的元素
2. ${\displaystyle \tau }$ 內元素間的任何聯集均為 ${\displaystyle \tau }$ 的元素
3. ${\displaystyle \tau }$ 內有限多個元素間的任何交集均為 ${\displaystyle \tau }$ 的元素

若 ${\displaystyle \tau }$ 為 ${\displaystyle X}$ 上的拓撲，則二元對 (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) 稱之為「拓撲空間」。符號 ${\displaystyle X_{\tau }}$ 可用來標記具有特定拓撲 ${\displaystyle \tau }$ 的集合 ${\displaystyle X}$。

${\displaystyle \tau }$ 的元素被稱為 ${\displaystyle X}$ 內的開集合。${\displaystyle X}$ 的子集被稱為閉集合，若其補集為 ${\displaystyle \tau }$ 內的元素[註 6]。${\displaystyle X}$ 的子集可能是開集合、閉集合、兩者都是（閉開集），或兩者都不是。空集合及 ${\displaystyle X}$ 自身永遠都同時是開集合與閉集合。一個包含點 ${\displaystyle x}$ 的開集合稱之為 ${\displaystyle x}$ 的「鄰域」。

一個具拓撲的集合稱之為拓撲空間。

拓撲空間之間的函數被稱為「連續」的，若任一開集合的原像均為開集合。若函數將實數映射至實數[註 7]，則其連續之定義等價於微積分內對連續之定義。若一連續函數為一對一且滿射，且若其反函數亦為連續，則該函數稱之為同胚，且該函數的定義域被稱為同胚於其值域。[註 8]

因為拓撲空間極為多變且奇特，許多拓撲學的領域會專注於被稱為流形的更為熟悉之空間。「流形」是一個拓撲空間，在每一點附近都類似歐氏空間。更確切地說，每個 ${\displaystyle n}$ 維流形上的點均有個與 ${\displaystyle n}$ 維歐氏空間同胚之鄰域。線與圓是一維流形，而雙扭線不是。二維流形亦稱之為曲面。[註 9]

一般拓撲學是拓撲學的分支，處理用於拓撲學的基本集合論定義與建構[10]。一般拓撲學是拓撲學內大多數分支的基礎，包括微分拓撲學、幾何拓撲學與代數拓撲學。一般拓撲學又稱為點集拓撲學。

點集拓撲學的基本概念為「連續性」、「緊緻性」與「連通性」。直觀來看，連續函數將鄰近的點映射至鄰近的點上。緊緻集合為可被有限多個任意小之集合覆蓋之集合。連通集合為不能被分成兩個拆開之部分的集合。「鄰近」、「任意小」與「拆開」等詞都可以透過使用開集合來精確定義。若改變了開集合的定義，連續函數、緊緻集合與連通集合的定義亦會改變。每個對「開集合」定義之選擇均是一個「拓撲」。具拓撲之集合稱之為「拓撲空間」。

「度量空間」是個可為距離指配一個被稱為「度量」之數值的一類拓撲空間。擁有度量能簡化許多證明，而許多常見的拓撲空間也都是度量空間。

代數拓撲學為數學的一個分支，使用抽象代數裡的工具來研究拓撲空間[11]。其基本目標為尋找代數不變量，以分類同胚意義下的拓撲空間，但最常分類的是同倫等價下的拓撲空間。

其中最重要的不變量有同倫群、同調與上同調。

雖然代數拓撲學主要是使用代數來研究拓撲問題，但使用拓撲學來解決代數問題，有時也是有可能的。例如，代數拓撲數能輕易地證明自由群的任一個子群仍是個自由群。

微分拓撲學是一門學科，研究在微分流形上的可微函數[12]，與微分幾何密切相關，並一齊組成微分流形的幾何理論。

更具體來說，微分拓撲考慮只依靠定義在流形上之光滑結構的性質與結構。可在光滑流形上附加額外的幾何結構，以用來阻礙存在於微分拓撲中的某幾類等價與形變。例如，體積與黎曼曲率是可區分相同光滑流形上的不同幾何結構之不變量；亦即，雖然可光滑地「攤平」某些流形，但可能需要扭曲空間，並影響其曲率或體積。

幾何拓撲學是拓撲學的一個分支，主要側重於低維[註 10]流形及其與幾何之互動的研究，但亦包括部分較高維拓撲[13][14]。幾何拓撲學的研究主題包括可定向性、柄分解、局部平坦與平面及高維商弗力士定理。

在高維拓撲裡，特徵類是個基本的不變量，割補理論是其重要理論。

低維拓撲具有強烈幾何含意，體現在二維的單值化定理裡，這個曲面都有一個常數曲率的度量；幾何上來說，每個曲面都會是下面 3 種幾何的其中一種：正曲率/球面、零曲率/平面、負曲率/雙曲面。三維的幾何化猜想[註 11]表示，每個三維流形都可被分解成數個質流形，而每個質流形都會是八種幾何的其中一種。

二維拓撲可被視為具單一變數的複幾何[註 12]來研究。透過單值化定理，每類共形的度量都會等價於一個唯一的複流形。而四維拓撲則可被視為具有二個變數的複幾何（複曲面）來研究，雖然不是每個四維流形都能有一個複結構。

有時需要用到拓撲學裡的工具時，不一定存在「點的集合」。在無點拓撲學裡，考慮改以開集合的格來作為該理論的基本概念[15]；而格羅滕迪克拓撲則是個定義在任意範疇上的結構，允許在這些範疇上定義出層，以及一般上同調理論的定義[16]。

紐結理論是拓撲學的一個分支，用於生物學中，以研究DNA內特定酶的影響。這些酶會切斷、扭曲且重新連接 DNA，形成電泳速率較慢的可觀察結果[17]。拓撲學也被用於演化生物學裡，以表示表現型與基因型間的關係[18]。基因型的改變對表現型的改變之影響方式，可決定是否只需少數的突變，即可呈現出極為不同的表現型來。

拓撲數據分析使用代數拓撲學裡的技術，以確認一個集合的大尺度結構[註 13]。拓撲數據分析使用的主要方法為：

1. 將一組數據線以單純複形替代，並以鄰近参数索引。
2. 使用代數拓撲學[註 14]分析這些拓撲複形[19]。
3. 以參數形式的貝蒂數編碼一組數據的持續同調，稱之為「條碼」[19]。

在物理學裡，拓撲學被用於量子場論及宇宙論等領域。

拓撲量子場論（或稱拓撲場論）是一個用來計算拓撲不變量的量子場論。

雖然拓撲量子場論是由物理學家所發明，但亦與數學相關，與代數拓撲學裡的紐結理論及四維流形之理論，以及代數幾何裡的模空間之理論等，均有關連。唐納森、瓊斯、維騰與孔采維奇等菲爾茲獎得主，其工作均與拓撲場論有關。

在宇宙論裡，拓撲學可用來描述宇宙的整體形狀[20]。這個領域被稱為時空拓撲學[21]。

機器人的各種可能姿勢可透過被稱為位形空間的流形來描述[22]。在運動規劃裡，會找出在位形空間內兩個點間的路徑。這些路徑表示機器人關節等部分移至所需位置與姿勢的運動[23]。

拓撲在輸電網路中，指網路建構與運行的路徑，其根據系統可靠度的要求、負載和發電特性而有所不同。一般輸電網路的拓撲可分為樹狀與網狀兩種結構。輸電與配電網路最簡單的拓撲是樹狀結構，由中央調控的高電壓、大電流電力，藉由變電站逐步降低電壓、電流，分配至各樹狀分支線路中，直到到達目標家庭用戶和企業用戶為止。但是，單個節點故障可能會導致節點以下分支網路的失效。網狀結構可以提供更高的可靠度，但是其運作與管理相對複雜[24]。