仿射变换

我們可以將此定義繼續延伸： 假設選定一原點 , ${\displaystyle O\in {\mathcal {A}}}$且 ${\displaystyle B}$表示其圖像${\displaystyle f(O)\in {\mathcal {B}}}$ , 如此即代表對任何向量 ${\displaystyle {\vec {x}}}$: ${\displaystyle f:(O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}})).}$

假設選定一原點${\displaystyle O'\in {\mathcal {B}}}$ ,此即可以拆解成一仿射變換${\displaystyle g:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ 使得 ${\displaystyle O\mapsto O'}$, 特定而言

${\displaystyle g:(O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}})),}$,

總結即，很直觀的， ${\displaystyle f}$包含了一個變換與線性座標。

給定同一場中的兩個仿射空間${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 與 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ , 一函數${\displaystyle f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ 為一仿射映射若且唯若對任一加權點的集合 ${\displaystyle \{(a_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}}$ of weighted points in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$於 such that

我們得到[1]

${\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})\,.}$

此定義等價於 ${\displaystyle f}$ 保留了 質心.

使用一 增廣矩陣 與一增廣向量, 用一矩陣乘法同時表示平移與線性映射是有可能的。此技術需要所有向量在其末端擴長 “1”且所有矩陣都於底部添加一排零，右邊擴長一列轉換向量，及右下角添加一個 “1”。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\,&A&&{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}}$

等價於

${\displaystyle {\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.}$

以上所言之擴長矩陣被稱為 “仿射變換矩陣”，又或稱為 “投射變換矩陣” （其可應用於 投影轉換)。

此表示法以 Kⁿ之半直積 與 GL(n, k)展示了 所有可逆 仿射變換的集合。 此為一個於眾函數集結下進行的一個 群, 被稱為 仿射群

普通矩陣向量乘法總將原點映射至原點，因此無法呈現平移（原點必須映射至其他點）。藉由於所有向量上擴增一座標 “1”，我們將原空間映至更高維空間的一個子集合以進行變換。在該空間中，原本之空間佔有了擴長座標一的1的子集合。 因此原空間的原點可在(0,0, ... 0, 1)。原空間的平移可藉由更高維度空間的線性轉換來達成（即為錯切變換）。在高維度中的座標即為 齊次座標的一例。 假如原空間為歐幾里德, 則更高維空間為實射影空間。

使用齊次座標的優點為，藉由相對應矩陣之乘積，可將任意數目的仿射變換結合為一。此性質被大量運用於 計算機圖形, 計算機視覺 與 機器人學。

函數f : R → R, f(x) = mx + c ，其中m與c為常數，此即為一般之仿射變換。

以下等式表示了有限體(2⁸)中的仿射變換:

${\displaystyle \{\,a'\,\}=M\{\,a\,\}\oplus \{\,v\,\},}$

此處[M]為矩陣 且 {v} 為向量 :

:${\displaystyle M\{\,a\,\}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&1\end{bmatrix}}}$  :${\displaystyle \{\,v\,\}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\1\\1\\0\end{bmatrix}}.}$

舉例來講，將以大端序二進位表示的元素{a} = y⁷ + y⁶ + y³ + y = {11001010}轉換成大端序十六進位，計算如下：

${\displaystyle a_{0}'=a_{0}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=1}$

${\displaystyle a_{1}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0}$

${\displaystyle a_{2}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}$

${\displaystyle a_{3}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}$

${\displaystyle a_{4}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0=0}$

${\displaystyle a_{5}'=a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus 1=1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=1}$

${\displaystyle a_{6}'=a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1=1}$

${\displaystyle a_{7}'=a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1.}$

于是， {a′} = y7 + y6 + y5 + y3 + y2 + 1 = {11101101} = {ED}。

一個實數平面上的簡單仿射變換

在 ℝ²，左方所示之變換即為以下映射：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}}$

將原紅色三角形之三個頂點作變換後給出了新藍色三角形的三個頂點。事實上，所有三角形皆可由仿射變換來達成，所有平行四邊形也可以，但一般四邊形不行。