餘弦定理

具有垂直線的銳角三角形

見右圖，在${\displaystyle c}$上做高可以得到（投影定理）：

${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha }$

將等式同乘以c得到：

${\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha }$

運用同樣的方式可以得到：

${\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma }$

${\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma }$

將${\displaystyle c^{2}}$的右式取代：

${\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha =(a^{2}-ab\cos \gamma )+(b^{2}-ab\cos \gamma )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$

設${\displaystyle \triangle ABC}$中，${\displaystyle {\overline {AB}}=c}$，${\displaystyle {\overline {BC}}=a}$，${\displaystyle {\overline {AC}}=b}$。過${\displaystyle B}$點作${\displaystyle AC}$的垂線，垂足為${\displaystyle D}$，如果${\displaystyle D}$在${\displaystyle AC}$內部，則${\displaystyle BD}$的長度為${\displaystyle a\sin C}$，${\displaystyle DC}$的長度為${\displaystyle a\cos C}$，${\displaystyle AD}$的長度為${\displaystyle b-a\cos C}$。根據勾股定理：

${\displaystyle c^{2}=(a\sin C)^{2}+(b-a\cos C)^{2}\,}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}\sin ^{2}C+b^{2}-2ab\cos C+a^{2}\cos ^{2}C\,}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}(\sin ^{2}C+\cos ^{2}C)+b^{2}-2ab\cos C\,}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,}$

如果${\displaystyle D}$在${\displaystyle AC}$的延長線上，證明是類似的。同理可以得到其他的等式。

證明所用的三角形

設${\displaystyle \triangle ABC}$中，${\displaystyle {\overline {AB}}=c}$，${\displaystyle {\overline {BC}}=a}$，${\displaystyle {\overline {AC}}=b}$。過${\displaystyle B}$點作${\displaystyle {\overline {AC}}}$的垂線，垂足為${\displaystyle D}$，設${\displaystyle {\overline {AD}}=x}$，則${\displaystyle {\overline {CD}}=b-x}$，根據勾股定理：

${\displaystyle c^{2}-x^{2}={\overline {BD}}^{2}=a^{2}-(b-x)^{2}}$

${\displaystyle c^{2}-x^{2}=a^{2}-b^{2}-x^{2}+2bx}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bx}$

${\displaystyle x={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b}}}$

${\displaystyle \cos A={\frac {x}{c}}={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$

如果${\displaystyle D}$在${\displaystyle {\overline {AC}}}$的延長線上，證明是類似的。同理可以得到其他的等式。

餘弦定理可以簡單地變形成：

${\displaystyle a={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}}}$

${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}+a^{2}-2ac\cos B}}}$

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}}}$

因此，如果知道了三角形的兩邊及其夾角，可由餘弦定理得出已知角的對邊。

余弦定理可以简单地变形成：

${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\,\!}$

${\displaystyle \cos B={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\,\!}$

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!}$

因為餘弦函數在${\displaystyle ({{\rm {0}},\pi })}$上的單調性，可以得到：

${\displaystyle \angle A=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\,\!}$

${\displaystyle \angle B=\arccos {\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\,\!}$

${\displaystyle \angle C=\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!}$

因此，如果已知三角形的三邊，可以由餘弦定理得到三角形的三個內角。