全序关系

对于每一（非严格）全序关系≤都有一关联的非对称的严格全序关系<，它可以用以下两种等价的方式定义：

• ${\displaystyle a<b}$当且仅当${\displaystyle a\leq b}$且${\displaystyle a\neq b}$
• ${\displaystyle a<b}$当且仅当${\displaystyle \neg (b\leq a)}$（即${\displaystyle >}$为${\displaystyle \leq }$的逆补关系）

性质：

• 传递性：${\displaystyle a<b}$且${\displaystyle b<c}$蕴涵${\displaystyle a<c}$。
• ：${\displaystyle a<b}$, ${\displaystyle b<a}$和${\displaystyle a=b}$中有且仅有一个成立。
• 弱序性：其中关联的等价是相等的。

我们可以通过指定${\displaystyle <}$为三分二元关系，用这两种等阶的方式来定义全序${\displaystyle \leq }$：

• ${\displaystyle a\leq b}$当且仅当${\displaystyle a<b}$或${\displaystyle a=b}$
• ${\displaystyle a\leq b}$当且仅当${\displaystyle \neg (b<a)}$

另两个关联的关系是补关系${\displaystyle \geq }$和${\displaystyle >}$，它们构成了四元组${\displaystyle \{<,>,\leq ,\geq \}}$。

我们可以用这四个关系中的任何一个来定义全序集，符号指明了全序集的严格性。

• 字典序的字母表，比如${\displaystyle A<B<C}$等等。
• 全序集的任何保持原次序不变的子集。
• 满足完全性的偏序集。
• 基数或序数集（严格地说，它们都是良序集）。
• 若${\displaystyle X}$为任何集合，${\displaystyle f}$为${\displaystyle X}$到一全序集的单射，则${\displaystyle f}$诱导${\displaystyle X}$为${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$当且仅当${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$的全序集。
• 有序数的全序集的直积的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何单词表——长为${\displaystyle n}$的单词可视为字母表集合的直积自乘${\displaystyle n}$次所得结果集合中的元素。
• 拥有小于（${\displaystyle <}$）和大于关系（${\displaystyle >}$）的实数集是全序的，因此其子集（自然数集、整数集、有理数集等）均为全序集。
  • 自然数集是最小的无上界全序集。
  • 整数集是最小的无界全序集。
  • 有理数集是最小的无界稠密全序集。
  • 实数集是最小的无界连通全序集。

• 二元关系
• 偏序关系

• George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4