卡方检验

在1900年，皮尔森发表了著名的关于${\displaystyle \chi ^{2}}$检验的文章[1]，该文章被认为是现代统计学的基石之一[6]。在该文章中，皮尔森研究了拟合优度检验：

假设实验中从总体中随机取样得到的${\displaystyle n}$个观察值被划分为${\displaystyle k}$个互斥的分类，这样每个分类都有一个对应的实际观察次数${\displaystyle x_{i}}$（${\displaystyle i=1,2,...,k}$）。研究人员会对实验中各个观察值落入第${\displaystyle i}$个分类的概率${\displaystyle p_{i}}$的分布提出零假设，从而获得了对应所有第${\displaystyle i}$分类的理论期望次数${\displaystyle m_{i}=np_{i}}$以及限制条件

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=1}$以及${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{m_{i}}=\sum _{i=1}^{k}{x_{i}}=n}$。

皮尔森提出，在上述零假设成立以及${\displaystyle n}$趋向${\displaystyle \infty }$的时候，以下统计量的极限分布趋向${\displaystyle \chi ^{2}}$分布。

${\displaystyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(x_{i}-m_{i})^{2}}{m_{i}}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-n}$

皮尔森首先讨论零假设中所有分类的理论期望次数${\displaystyle m_{i}}$均为足够大且已知的情况，同时假设各分类的实际观测次数${\displaystyle x_{i}}$均服从正态分布。皮尔森由此得到当样本容量${\displaystyle n}$足够大时，${\displaystyle X^{2}}$趋近服从自由度为${\displaystyle (k-1)}$的${\displaystyle \chi ^{2}}$分布。

然而，皮尔森在讨论当零假设中的理论期望次数${\displaystyle m_{i}}$未知并依赖于必须由样本去进行估计的若干参数的情况时，记${\displaystyle m_{i}}$为实际的理论期望次数以及${\displaystyle m'_{i}}$为估计的理论期望次数，认为

${\displaystyle X^{2}-X'^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m'_{i}}}}$

的值通常为正且足够小以至于可以忽略。皮尔森总结为，如果我们认为${\displaystyle X'^{2}}$也服从自由度为${\displaystyle (k-1)}$的${\displaystyle \chi ^{2}}$分布，那么由此近似带来的误差通常足够小并不会对实际决策的结论带来实质性的影响。这个结论在应用层面造成了长达20年的争论，直到费歇尔在1922年及1924年的论文[7][8]发表后才暂告一段落。

• 皮爾森卡方檢定，是最有名的卡方檢驗，有兩種用途，分別是「適配度檢定」（Goodness of Fit test）以及「獨立性檢定」。科學文章中，當提到卡方檢定而沒有特別註明是哪一種時，通常便是指皮爾森卡方檢定。
• 葉氏連續性修正：當用皮爾森卡方檢定做獨立性檢定時，若任何一個欄位的期望次數小於5，會使「近似於卡方分配」的假設不可信，統計值會系統性地偏高，導致過度地拒絕虛無假設，此時可以做葉氏連續性修正。
• Cochran–Mantel–Haenszel chi-squared test。
• McNemar's test，用於某些 2 × 2 表格的配對樣本。
• Tukey's test of additivity。
• portmanteau test，用於時間數列分析裡檢定自我相關的存在。
• 似然比檢定（英語：），在建立統計模型時，用於檢定證據是否支持某個複雜的模型（使用變數較多）優於簡單的模型（使用變數較少），其中簡單模型所使用的變數全部包含於複雜模型中。