卡方分佈

卡方分布的概率密度函数为：

${\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma ({\frac {k}{2}})}}x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{\frac {-x}{2}}}$

其中${\displaystyle x\geq 0}$，当${\displaystyle x\leq 0}$时${\displaystyle f_{k}(x)=0}$。这里Γ代表Gamma函数。

卡方分布的累积分布函数为：

${\displaystyle F_{k}(x)={\frac {\gamma {\Bigl (}{\frac {k}{2}},{\frac {x}{2}}{\Bigr )}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}}$，

其中γ(k,z)为不完全Γ函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

${\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi (k/2)}$

其中${\displaystyle \psi (x)}$是雙伽瑪函數。

當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度。 即：

${\displaystyle r.v.Y=\chi ^{2}\left(U\right)=\Gamma \left(\alpha ={\frac {U}{2}},\lambda ={\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {E} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda }}={\frac {\frac {U}{2}}{\frac {1}{2}}}=U}$

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {Var} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}={\frac {\frac {U}{2}}{\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=2U}$

卡方變數之期望值＝自由度 卡方變數之方差＝两倍自由度

由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n}}$分别独立服从自由度为${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots k_{n}}$的卡方分布，那么它们的和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}}$服从自由度为${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}}$的卡方分布。

若k个随机变量${\displaystyle Z_{1}}$、……、${\displaystyle Z_{k}}$是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\bar {Z}})^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}}$

其中均值

${\displaystyle {\bar {Z}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}}$

它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即

${\displaystyle n{\bar {Z}}^{2}\sim \chi _{1}^{2}}$