双曲函数

sinh、cosh和tanh

csch、sech和coth

最簡單的幾種雙曲函數為[1]：

• 雙曲正弦：

  ${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

• 雙曲餘弦：

  ${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$

• 雙曲正切：

  ${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$

• 雙曲餘切：當${\displaystyle x\neq 0}$

  ${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$

• 雙曲正割：

  ${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$

• 雙曲餘割：當${\displaystyle x\neq 0}$

  ${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$

函数${\displaystyle \cosh x}$是关于y轴对称的偶函数。函数${\displaystyle \sinh x}$是奇函数。

如同当${\displaystyle t}$遍历实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$时，点（${\displaystyle \cos t}$, ${\displaystyle \sin t}$）的轨迹是一个圆${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$一样，当${\displaystyle t}$遍历实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$时，点（${\displaystyle \cosh t}$, ${\displaystyle \sinh t}$）的轨迹是單位雙曲線${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$的右半边。这是因为有以下的恒等式：

${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1}$

参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（${\displaystyle \cosh t}$, ${\displaystyle \sinh t}$）的直线之间的面积的两倍。

在直角雙曲線（方程${\displaystyle y={1 \over x}}$）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於雙曲角u的雙曲線扇形（紅色）。這個三角形的邊分別是雙曲函數中${\displaystyle \cosh }$和${\displaystyle \sinh }$的${\displaystyle {\sqrt {2}}}$倍。

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數[2]，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積[3]。自然對數函數是在直角雙曲線${\displaystyle xy=1}$下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線${\displaystyle y=x}$上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角${\displaystyle u}$，在漸近線即x或y軸上需要有的${\displaystyle x}$或${\displaystyle y}$的值。顯見這裡的底邊是${\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$，垂線是${\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

• ${\displaystyle \cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}}}$
• ${\displaystyle \sinh u={\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}}}$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線${\displaystyle xy=1}$下雙曲角的${\displaystyle {1 \over 2}}$。

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果${\displaystyle x}$是實數而${\displaystyle i^{2}=-1}$，則

${\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x),\quad }$ ${\displaystyle -i\sin(ix)=\sinh(x).}$

所以雙曲函數${\displaystyle \cosh }$和${\displaystyle \sinh }$可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成${\displaystyle \cosh }$函數，後者形成了${\displaystyle \sinh }$函數。${\displaystyle \cos }$函數的無窮級數可從${\displaystyle \cosh }$得出，通過把它變為交錯級數，而${\displaystyle \sin }$函數可來自將${\displaystyle \sinh }$變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數${\displaystyle i}$，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子${\displaystyle (-1)^{n}}$，來恢復為指數函數的那兩部份級數。

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}&\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{array}}}$

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：

• 雙曲正弦：[1]

  ${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)\!}$

• 雙曲餘弦：[1]

  ${\displaystyle \cosh x=\cos(ix)\!}$

• 雙曲正切：

  ${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)\!}$

• 雙曲餘切：

  ${\displaystyle \coth x=i\cot(ix)\!}$

• 雙曲正割：

  ${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)\!}$

• 雙曲餘割：

  ${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)\!}$

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。

奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線[4]。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角${\displaystyle \alpha }$得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，双曲函数与三角函数有如下的关係:

• 正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
• 餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
• 正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
• 餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
• 正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
• 餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。
• 角的量值可以從0到無限大，但${\displaystyle \alpha }$實際上只會介於${\displaystyle 0}$到${\displaystyle 2\pi }$（360度）之間，其餘是${\displaystyle \alpha }$的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從${\displaystyle 0}$到無限大，但${\displaystyle \alpha }$實際上不會超過${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$（45度），故無法如三角函數一樣有周期性。

与双曲函数有关的恆等式如下:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\\1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x\\\operatorname {coth} ^{2}x-1=\operatorname {csch} ^{2}x\\\end{aligned}}}$

• 加法公式：

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y}$

${\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y}$

${\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}}$

• 二倍角公式：

${\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x}$

${\displaystyle \cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1}$

${\displaystyle \tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}}$

• 和差化積：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$

• 半角公式：

${\displaystyle \sinh {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}}$

${\displaystyle \cosh {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}}$

${\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}}$

其中 sgn 為符號函數。

若 x ≠ 0，則：

${\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$

由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個${\displaystyle \sinh }$的積的项（包括${\displaystyle \coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y}$）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式[5]。如

• 三倍角公式：

三角函数的三倍角公式为：

${\displaystyle \sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x}$

${\displaystyle \cos 3x\ =-3\cos x+4\cos ^{3}x}$

而对应的双曲函数三倍角公式则是：

${\displaystyle \sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x}$

${\displaystyle \cosh 3x\ =-3\cosh x+4\cosh ^{3}x}$

• 差角公式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

${\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$（罗朗级数）

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$（罗朗级数）

其中

${\displaystyle B_{n}}$是第${\displaystyle n}$項伯努利數

${\displaystyle E_{n}}$是第${\displaystyle n}$項欧拉數

下列的擴展在整個複數平面上成立：

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \int \sinh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\cosh cx+C}$

${\displaystyle \int \cosh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\sinh cx+C}$

${\displaystyle \int \tanh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln(\cosh cx)+C}$

${\displaystyle \int \coth cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\sinh cx\right|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {sech} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\arctan(\sinh cx)+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {csch} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|+C}$

從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x}$

和

${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x}$

因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數${\displaystyle \sinh z}$和${\displaystyle \cosh z}$是全純函數。

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}}$

所以:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh ix&=i\tan x\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}}$

因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為${\displaystyle 2\pi i}$（對雙曲正切和餘切是${\displaystyle \pi i}$）。

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}}$

• 反双曲函数
• 双曲函数符号
• 三角函数
• 古德曼函数