面积

證明

引理：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比

如圖，根據《幾何原本》第六卷命題一 ——等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同[6]，我們得到

${\displaystyle {\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}}$

又

${\displaystyle {\begin{aligned}Y:G&=b:d\\&=ab:ad{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}}$

所以

${\displaystyle B:G=ab:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 二 十 三 ）}},}$

引理證畢。

定理：長方形的面積等於其長寬之積

根據引理， A:R=lw:(1x1)

定義單位正方形的面積為一平方單位。由於R是單位正方形，因此面積是一平方單位。將一平方單位代入R，得到：A:1=lw:1

${\displaystyle A=lw}$ （第五卷命題九）

（定理證畢）

面積相同

有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式有點像長方形的：[2]

${\displaystyle A=bh}$

兩個全等三角形

至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為：[2]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$

圓形可以分割為很多扇形

圓形面積公式是基於基本的面積公式，假設有一個半徑為r的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為r的圓形面積相等於一個高為r，底為πr的平行四邊形。[7]

我們也可以用積分得到更肯定的答案。

${\displaystyle A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.}$

計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。

一些基本的立體表面積公式：

• 立方體：${\displaystyle 6x^{2}}$（x是立方體的邊長）
• 長方體：${\displaystyle 2(lw+wh+hl)}$（l、w、h分別是長方體的長、寬和高）
• 球體：${\displaystyle 4\pi r^{2}}$（r是球體的半徑）
• 球冠：${\displaystyle 2\pi rh}$（球冠是指被平面截下的部分球面；r是球體的半徑；h是球冠高）
• 直立圓錐體：${\displaystyle \pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$（r是圓錐體底部的半徑，h是它的高）
• 直立圓柱體：${\displaystyle 2\pi r(h+r)}$（r是圓柱體圓形底部的半徑，h是它的高）

面積的測量單位主要包括：

• 平方公里——1,000,000平方米
• 平方公引（ha）——10,000平方米
• 平方公丈（a）——100平方米
• 平方公尺——1平方米，國際標準單位
• 平方公寸——0.01平方米
• 平方公分——0.0001平方分米
• 平方公釐——0.000001平方厘米

市制：

• 畝——10丈 × 6丈 ——33.33米 × 20米 ——666.67平方米
• 平方市里——0.25平方公里
• 平方市尺——1/9平方米

臺制：

• 甲——9,699.173平方公尺（平方米）
• 坪——3.3058平方公尺（平方米）

香港：

• 平方呎（平方英尺）——929平方厘米