长度收缩

长度收缩可以通过洛伦兹变换推导：

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right),\\t'&=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right).\end{aligned}}}$

运动长度已知

在惯性系S中，设${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{2}}$是运动物体的两个端点。这里，它的长度${\displaystyle L}$可以根据上述变换，通过在${\displaystyle t_{1}=t_{2}\,}$时同时确定两个端点的位置测量。现在这个物体在S'系中的原长可以通过洛伦兹变换计算。自S到S'的时间坐标变换会导致时间不同，但这并不影响推导，因为物体在S'系中是静止的。因此，这里只需要考虑空间坐标的变换：[6]

${\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)}$以及${\displaystyle x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)}$。

由于${\displaystyle t_{1}=t_{2}\,}$，那么设${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$，${\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}$，S'中的原长为：

${\displaystyle L_{0}^{'}=L\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(1)}}}$

此时S中的测量长度为：

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(2)}}}$

依据相对性原理，S中静止的物体在S'中同样也会发生长度收缩。当改变改变符号和对换表示后：

${\displaystyle L_{0}=L'\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(3)}}}$

此时，S'中测到的收缩后的长度为：

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(4)}}}$

原长已知

反之，如果物体在S系中静止，且原长已知。由于物体的位置会时时发生变化，在S'中就要同时确定物体两个端点的位置。因此，时空坐标要进行以下变换：[25]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad ,\quad &&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad ,\quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right).\end{aligned}}}$

当${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$，${\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}$，非同时距离时间差为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma L_{0}\\\Delta t'&=\gamma vL_{0}/c^{2}\end{aligned}}}$

为了得到端点在同一时刻的位置，距离可以这样求得：

${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=\Delta x'-v\Delta t'\\&=\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\&=L_{0}/\gamma \end{aligned}}}$

由此得到收缩后的长度。类似地，当物体在S'中静止时，对应的收缩后的长度为：

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }$.

长度收缩也能通过时间膨胀推导[26]。思路与前文（“相对论基础”）基本一致。时钟运动时间${\displaystyle T}$与其原时${\displaystyle T_{0}}$满足：

${\displaystyle T=T_{0}\cdot \gamma }$

设一根原长为${\displaystyle L_{0}}$的长棒在S系中静止，而时钟在S'系中静止。在S系中，时钟在长棒从一个端点到另一个端点的运动时间为${\displaystyle T=L_{0}/v}$，在S'系中则为${\displaystyle T'_{0}=L'/v}$。因此${\displaystyle L_{0}=Tv}$，而${\displaystyle L'=T'_{0}v}$。通过插入时间膨胀方程，长度之间的比值为：

${\displaystyle {\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma }$.

因此，在S'系中测得的长度为：

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$.

也就是说，时钟在S系中的运动时间要比在S'中长（S系中的时间膨胀效应），对应地，长棒在S系中的长度也就比S'中的长（S'系中的长度收缩效应）。类似地，如果时钟和长棒分别在S和S'中静止，对应的结果则为：

${\displaystyle L=L'_{0}/\gamma }$.

欧几里得时空和闵科夫斯基时空中的长方体

除了上述两种方法，还可通过不同空间中的三角法来解释长度收缩。

右图的左侧展示了一个在三维欧几里得空间 E³内旋转的长方体。旋转方向上的截面要比旋转前长。右侧则是单个空间维度发生收缩的闵科夫斯基时空E^1,2中的运动薄板。直线变换方向上的截面要比变换前窄。在两种情形中，纵向并没有受到影响而三个平面在长方体的各个顶点上都是彼此正交的。

在狭义相对论中，庞加莱变换是一种仿射变换。其是依据惯性系状态以及不同的原点选择不同的描述闵可夫斯基时空的直角坐标系。洛伦兹变换是一种线性庞加莱变换。对闵可夫斯基时空进行洛仑兹变换（洛伦兹群是等距同构群的迷向子群（isotropy subgroup））与对欧几里德空间金星旋转变换的作用类似。狭义相对论中有很大一部分是对闵可夫斯基时空中非欧三角法则的研究。