期權

市場上最常見的種類是認購期權和認沽期權。這兩款期權合稱為香草期權（Vanilla Option），取自於最常見的冰淇淋口味。

• 買入選擇權（）賦予持有者買進標的物的權利。它又稱作看漲期權、認購期權及買權。
• 賣出選擇權（）賦予持有者賣出標的物的權利。它又稱作看空期權、認沽期權及賣權。

其他種類的選擇權均屬於奇異期權（Exotic Option）。

障礙期權

障礙期權（Barrier Option）設有敲入/敲出（knock in/out）價格。觸發相關條件後，期權才會生效或作廢。設有敲出條件的障礙期權，依照是否有剩餘價值可分成兩種。單一障礙期權共有八個基本類型，由Call和Put，及以下四個障礙條件組成

• 上升並敲入（up and in）
• 上升並敲出（up and out）
• 下跌並敲入（down and in）
• 下跌並敲出（down and out）

雙重障礙期權

雙重障礙期權（Double Barrier Option）同時設有敲入/敲出價格，並可分為兩大類。第一類是，障礙期權只在敲入後，才可被敲出。另一類是，敲入及敲出條件視為獨立事件，即任何時候都可被敲出。

觸價期權

觸價期權（Touch Option）設有觸價（touch）或無觸價（no touch）條件。相關資產在有效期內達到觸價條件，期權會即時結算，持有人可獲取固定收益。對於無觸價期權，如有效期內未曾觸價，持有人在到期時可獲取固定收益。如同障礙期權，觸價期權也可設有兩個條件，稱為雙重觸價期權。

二元期權

二元期權（Binary Option）的回報率在交易開始時就告確定。長倉及短倉的最大收入（或損失）均為固定值，不受相關資產與行使價的價差影響。

亞式期權

亞式期權（Asian Option）的結算價以期內的平均值計算，而非只按到期日的現價計算。平均值的取樣依合約而定，例如，可只計算有效期內每個交易日的收市價。

複合期權

複合期權（Compound Option）以其他期權合約為相關資產，共有四款。[13]

• 基於看漲期權的看漲期權（Call on a Call）
• 基於看空期權的看漲期權（Call on a Put）
• 基於看漲期權的看空期權（Put on a Call)
• 基於看空期權的看空期權（Put on a Put)

選擇權是一種衍生性金融商品[14][15]^:6。與遠期契約或期貨契約相同，選擇權契約也有到期日，可按照行使方式（Exercise Style）分類。若買方只能在到期日當天選擇行使權利與否，則稱為該選擇權為歐式（）；如果買方可以在到期前任何時間行使權利，則稱為該選擇權為美式（）[3]^:147。但買方在到期前行使權利，將會失去剩餘的時間值。對於不派發股息的股票，買方一般不會提早行使。如果期權的到期日與股票的除淨日十分接近，期權的時間值或少於分派的股息。此時，買家提早行使期權將可獲得較高的收益。百慕達期權（Bermudan Option）容許持有人在到期前的特定日子行使，取名自位於美洲及歐洲之間的百慕達。

實質價值（，或稱內生價值[3]^:152、內涵價值 、內在價值[18]），是指標的物即期價格與選擇權履約價格之間的差異。如果履約價格低於標的即期價格，則稱為買權有實質價格存在。如果反之，履約價格高於標的即期價格，則稱為賣權具備實質價值。[2]^:168

任何具備實質價值的選擇權被稱為價內（或是正內生價值[3]^:152，，也稱為實值期權），買入選擇權的履約價格比即期價格低時便稱為價內；賣出選擇權的履約價較即期價格高時也稱為價內。簡單來說，只要是履約時選擇權買方可以賺到錢的契約就被稱為是價內。價內的大小可以用數值表示。舉例來說，在外匯市場中，若一賣權的履約價為$1.6/£，而即期價格為$1.4/£，則稱為此賣權為$0.20的價內，因為立即執行賣權將會獲得$0.20的現金利得。[2]^:168

價內的相反，也就是選擇權買方履約時會虧損的契約，稱為價外（，也稱為虛值期權）。買入選擇權的履約價格比即期價格高時便稱為價外；賣出選擇權的履約價較即期價格低時也稱為價外。價外的大小，和價內一樣，也可以用數值表示。舉例來說，在外匯市場中，若一賣權的履約價為$1.5/£，而即期價格為$1.7/£，則稱為此賣權為$0.20的價外，因為立即執行賣權將會獲得$0.20的現金損失。[2]^:168

當權利金價值與即期價格相等時，稱為價平（，也稱為兩平期權），此時買賣雙方沒有人賺錢，也沒有人賠錢。[2]^:168在現實情況下，即期價格甚少與履約價格完全相同，所以一般把最接近現價的一個（或兩個）履約價視為ATM。例如某股票為$106.5，履約價$107及$108的期權都視為ATM。

另一種表示實質價值的方式是以內生價值表示。價內被稱為正內生價值，而價外和價平被稱為零內生價值；內生價值不可能為負值[3]^:152。

時間價值（）是選擇權價格的第二個決定因素。因為選擇權在持有時間內會因為標的物的價格變動而使選擇權價值變動，就算目前選擇權為價外而沒有內生價值，只要選擇權還在有效期限內，就仍有回到價內的機會，故時間價值通常是正值[3]^:152。一般來說，到交割日的時間越久，選擇權權利金便越高，因為假如市場參與者可有四個月的時間決定要不要執行選擇權，而不是一兩個月內決定的話，此時擁有買或賣的權利對他而言是較有價值的。舉例來說，從二月開始，在六月到期的選擇權即可有四個月時間讓即期價格變動至理想價格[2]^:169。由於選擇權具備到期日越長，時間價格越大的特性，有人稱選擇權為一種消耗型資產（）：因為就和二手車等商品一樣，選擇權的價值也會隨著時間衰減[3]^:152。

時間值可以是負數，也就是說，期權價格或會低於內在值。[19]其中一個常見的例子是深入價內的歐式期權，由於持有人無法提早行使，他損失了內在值至到期日的利息收入。假設行使價是X，利息機會成本是${\displaystyle {\begin{smallmatrix}X-{\frac {X}{(1+r)^{T}}}\end{smallmatrix}}}$。當利息成本足夠大，超過了期權的保險價值（Insurance valvue），時間值就會變成負數。負的時間值在認購及認沽期權均會出現。

保險價值（I）與利息成本共同組成時間值。對於認沽期權（p₀），

${\displaystyle p_{0}-(X-S_{0})=D+I-[X-{\frac {X}{(1+r)^{T}}}]}$

其中，S0是現價，D是股息。

標的物的即期價格變動是影響選擇權權利金最重要的原因之一。變動程度指的是在給定時間內價格波動的幅度，波動的幅度越大，即期價格達到理想價格的機率也越高，因此當一個產品的市場價格變動率很大時，選擇權權利金也會越高。一般來說，一個選擇權即便是在價外時，仍有利潤機會。對於在價外的選擇權，在他們還沒到期之前，投資者仍會願意付一些權利金。因為選擇權在到期日之前，實質價格上有增加的可能性。[2]^:169

費雪·布雷克（左）及邁倫·舒爾茲（右）共同提出了期權定價模型

1973年，在延續了路易·巴舍利耶和較晚的罗伯特·默顿的研究後，美國經濟學家修斯和財務經濟學家布萊克推共同提出了布萊克－休斯選擇權定價模式，簡稱B-S模型[17]^:447[20]。布萊克-休斯模型利用建立風險中性的投資組合來複製期權的報酬，並為歐式選擇權的理論價格製定了一個封閉形式的解決方案[20]。[17]^:447[21]雖然布萊克-休斯模型背後的想法被認為是開創性的，仍有學者批評模型對於連續交易、恆定波動率和恆定利率的假設與現實不符。儘管如此，布萊克-休斯模型仍然是現有金融市場分析中最重要的方法和基礎之一[22]。

在不考慮配發股利的歐式選擇權中，布萊克-休斯模型認為會影響權利金${\displaystyle V(S,t)}$的因素有五種：標的物價格（S）、履約價格（K）、隱含波動性（σ）、無風險利率（r）及有效期${\displaystyle \tau =T-t}$。[17]^:447對派發股息（D）的股票，可以把預期的股息以利率r折算至到期日，再從現價S₀中扣除，得到新的現價S。此現價S可套用於B-S等式。

歐式期權遵從二次偏微分方程：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

解偏微分方程，得到理論價格：

${\displaystyle \displaystyle C(S,t)=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r\tau }}$

${\displaystyle \displaystyle P(S,t)=N(-d_{2})Ke^{-r\tau }-N(-d_{1})S}$

其中：

${\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{K}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\tau }}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\end{smallmatrix}}}$

${\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{smallmatrix}}}$

在實際應用中，可以輕易得知內在值和期限，債券市場也能提供無風險利率的數據，只有隱含波動性是無法被直接觀察。一般而言，隱含波動性都是透過把市場價格代入公式推算出來的。對於證券商和投資銀行來說，歷史波幅可用作參考。其中一個做法是，在歷史波幅加上邊際利潤作為隱含波動性，然後計算期權定價。

若以標的物價格討論選擇權權利金的大小，當 S₁>S₂，則 C(S₁) ≥ C(S₂)。這是因為買權的價值包括內在價值與時間價值兩部分，其中內在價值為標的物的現貨價格減去履約價格。在其他條件（包括時間價值）不變的情況下，標的物價格越高，該買權的內在價值也越高，所以當買方欲行使其權利時，其利潤也越大，買權的價格也應較高。[17]^:447。

加入履約價格討論後，則當 K₁>K₂ 時，知 C(S, K₁) ≤ C(S, K₂)。這是因為如果買權的履約價格越高，買權的內在價值越低，因此其價值應該較低。[17]^:447。

加入標的物的預期變動率討論後，則當 σ₁>σ₂ 時，知 C(S, K, σ₁) ≥ C(S, K, σ₂)。這是因為如果標的物之預期變動率越高，表示該標的物價格在未來漲過履約價格或跌破履約價格的可能性越大。由於買權的買方付出權利金後所取得的是行使買進標的物之權利，因此當標的物價格跌破履約價格時，他可以選擇不履約而不必承擔損失﹔當標的物價格高於履約價格時，買方則可以行使履約之權利而獲利。所以標的物的價格預期變動率越高，買權的買方應越有可能獲得更高利潤，也因為如此，選擇權的價格自然也應較高[17]^:447。

加入無風險利率水準討論後，則當 r₁>r₂ 時，知 C(S, K, σ, r₁) ≥ C(S, K, σ, r₂)。這是因為在其他情況不變下，利率越高，買權買方在行使購入權利時所付出的履約價格折合現值將會較低，因此其作用就等於履約價格降低一樣。而當履約價格較低時，買權的價值會較高，因此當利率較高時，買權的價格也會較高[17]^:448。

加入到期日之遠近變數後，則當 t₁>t₂ 時，則 C(S, K, σ, r, t₁) ≥ C(S, K, σ, r, t₂)。這是因為當距離買權到期日愈遠，標的物之未來價格越可能發生變化，因此對取得買入權利的買方越有利。同時，若買權距離到期日越遠，則買方再行使買進標的物之權利所付出之履約價格在折合現值時將越低，因此對買方也是有利。所以距離到期日較遠之買權，其權利金就應該較高[17]^:448。

若以標的物價格討論選擇權權利金的大小，當S₁>S₂ 時，知 C(S₁) ≤ C(S₂)。這是因為如果標的物價格越高，則其內在價值越低，因此賣權之價格也應該較低[17]^:448。

加入履約價格討論後，則當 K₁>K₂ 時，知 C(S, K₁) ≥ C(S, K₂)。這是因為如果賣權的履約價格越高，賣權的內在價值越高，因此其價值應該較高[17]^:448。

加入標的物的預期變動率討論後，則當 σ₁>σ₂ 時，知 C(S, K, σ₁) ≥ C(S, K, σ₂)。與買權相同，這是因為如果標的物之預期變動率越高，表示該標的物價格在未來漲過履約價格或跌破履約價格的可能性越大。由於賣權的買方付出權利金後所取得的是行使賣出標的物之權利，因此當標的物價價格超過履約價格時，他可以選擇不履約而不必承擔損失﹔當標的物價格低於履約價格時，買方則可以行使履約之權利而獲利。所以標的物的價格預期變動率越高，賣權的買方應越有可能獲得更高利潤，也因為如此，選擇權的價格自然也應較高[17]^:449。

加入無風險利率水準討論後，則當 r₁>r₂ 時，知 C(S, K, σ, r₁) ≤ C(S, K, σ, r₂)。利率越高，賣權買方在行使權利時所收取之履約價格的折現值會越低，對其不利，因此賣權價格應較低[17]^:449。

加入到期日之遠近變數後，則當 t₁>t₂ 時，知 C(S, K, σ, r, t₁) ≥ C(S, K, σ, r, t₂)。這是因為當距離買權到期日愈遠，標的物之未來價格越可能發生變化，因此對取得賣出權利的買方越有利。但是，若買全距離到期日月遠，則買方再行使買進標的物之權利所付出之履約價格在折合現值時將越低，因此對買方反而不利。所以到期日之遠近，對賣權價格的影響方向是不確定的[17]^:449。

隨機波動模型是一種在資產未確定分配下利用價格波動性模擬出價值的方式。自從1987年以來，人們觀察到較低執行價格期權的市場隱含波動率通常高於較高執行價格的期權，並指出價格隨機過程與波動過程具有套利相關性，此現象被認為表示了波動率會隨時間和標的證券的價格變化而變化。隨機波動模型的原理即是假設存在一獨立不確定來源作為價格變化動力，將市場上價格的波動為隨機波動[23][24]。

蒙地卡羅方法（英語：），也称「统计模拟方法」，是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法[25]。蒙地卡羅方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决平常難以解決的计算问题[25]；在面對具備較高複雜性的的期權的場合，傳統的定價技術有時難以處理，在這些情況下，蒙特卡羅方法通常會是可以考慮採用的方法。與其他模型試圖以微分方程式求出標的證券價格與期權價值間關係變化不同，蒙地卡羅方法使用電腦模擬生成標的資產的隨機價格路徑，其中每個價格路徑都會導致期權的收益。這些收益的平均值可以求出期權的預期價值[26]。