安培环路定律

电流${\displaystyle I}$在一个曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$上的通量，等於磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$沿著${\displaystyle \mathbb {S} }$的邊緣閉合迴路${\displaystyle \mathbb {C} }$的路徑積分。採用國際單位制（後面會講述CGS單位制版本），原版安培環路定律的積分形式可以寫為[2]：

${\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I}$。

請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清：

• 第一，邊界曲線${\displaystyle \mathbb {C} }$的正向与曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的侧符合右手规则。[注 1]

• 第二，（固定${\displaystyle \mathbb {C} }$，）定理之成立與以${\displaystyle \mathbb {C} }$為邊界的${\displaystyle \mathbb {S} }$的選擇無關。[注 2]

安培環路定律可由必歐-沙伐定律和磁場的叠加性证明（請參閱必歐-沙伐定律）。在静磁學中，安培環路定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培環路定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。

根據克耳文－斯托克斯定理，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用國際單位制，這方程式表示為

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$。

磁场${\displaystyle \mathbf {B} }$的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度${\displaystyle \mathbf {J} }$。

通常在教科書內所提及的单独的“電流”二字，都是指的自由電流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通過一條導線或一個電池的電流。自由电流与后面提到的束缚电流明顯不同，后者出現於可以被磁化或電極化的宏觀物質裏（每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化）。

當一個物質被磁化的時候（例如，將此物質置入外磁場），電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是，它們的物理行為會有所改變（會與感受到的磁場耦合），產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同宏观電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為磁化電流，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」${\displaystyle \mathbf {J} _{M}}$，用方程式定義為

${\displaystyle \mathbf {J} _{M}\ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla \times \mathbf {M} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {M} }$是磁化強度（單位體積的磁偶極矩）。

束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化，束縛電荷也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」${\displaystyle \mathbf {J} _{P}}$，用方程式定義為

${\displaystyle \mathbf {J} _{P}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$是電極化強度。

注意到電極化強度的定義式

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ -\rho _{b}}$；

其中，${\displaystyle \rho _{b}}$是「體束縛電荷密度」。

取電極化電流密度的散度：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} _{P}={\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {P} )}$。

所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} _{P}=-{\frac {\partial \rho _{b}}{\partial t}}}$。

在自由空間內，位移電流跟電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成電極化的增加，這可以用變量電極化強度${\displaystyle P}$來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。

位移電流密度${\displaystyle \mathbf {J} _{D}}$定義為[2]

${\displaystyle \mathbf {J} _{D}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {D} }$是電位移，定義為

${\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$；

其中，${\displaystyle \varepsilon _{0}}$是電常數，${\displaystyle \mathbf {P} }$是電極化強度。

所以，位移電流密度分為兩個部分：

${\displaystyle \mathbf {J} _{D}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$。

這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的極化性有關。

馬克士威-安培方程式的等價證明

這裏證明方程式 ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$。 等價於方程式 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$， 注意到只處理微分形式，而不處理積分形式。但這已足夠了。因為，根據克耳文-斯托克斯定理，微分形式等價於積分形式。 回想電位移的定義式為 ${\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$。 還有，${\displaystyle \mathbf {H} }$的定義式為 ${\displaystyle \mathbf {H} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} }$。 將這兩個定義式代入H場${\displaystyle \mathbf {H} }$的馬克士威-安培方程式， ${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \right)=\mathbf {J} _{f}+\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$。 經過一番運算，可以得到 ${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \right)=\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{f}+\mathbf {J} _{M}+\mathbf {J} _{P}+\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$。 稍加整理，即可得到磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$的馬克士威-安培方程式 ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$。