三重积

标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。

設${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$、${\displaystyle \mathbf {c} }$為三個向量，則标量三重积的定義為

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$。

設 ${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$、${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$、${\displaystyle \mathbf {c} =c_{1}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +c_{3}\mathbf {k} }$，則有

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}}$。

證明

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&=(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\cdot {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}\\&=(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\cdot (\mathbf {i} {\begin{vmatrix}\ b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\\\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\\\end{vmatrix}})\\&=a_{1}{\begin{vmatrix}\ b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\\\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\\\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

利用行列式的特性，可知順序置換向量的位置不影響标量三重积的值：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

任意對換兩個向量的位置，标量三重积與原來相差一個負號：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )}$

若任意兩個向量相等，則标量三重积等於零：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot \mathbf {0} =0}$

有時候，純量三重積會以括號表示：

${\displaystyle [\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} ]=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

几何上，由三个向量定義的平行六面体，其体积等於三個标量标量三重积的絕對值：

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=\left|{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}\right|}$

證明

用向量来定义平行六面体。

以 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {c} }$ 来表示底面的边，则根据叉积的定义，底面的面积 ${\displaystyle A}$ 为

${\displaystyle A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |}$ ，

其中 ${\displaystyle \theta }$ 是 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 与 ${\displaystyle \mathbf {c} }$ 之间的角，而高 ${\displaystyle h}$ 为

${\displaystyle h=|\mathbf {a} |\cos \alpha }$，

其中 ${\displaystyle \alpha }$ 是 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 与 ${\displaystyle h}$ 之间的角。

从图中我们可以看到， ${\displaystyle \alpha }$ 的大小限定为 ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }}$ 。而向量 ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$ 与 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 之间的角 ${\displaystyle \phi }$ 则有可能大于90°（${\displaystyle 0^{\circ }\leq \phi <180^{\circ }}$）。也就是说，由于 ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$ 与 ${\displaystyle h}$ 平行， ${\displaystyle \phi }$ 的值要么等于 ${\displaystyle \alpha }$ ，要么等于 ${\displaystyle 180^{\circ }-\alpha }$ 。因此

${\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \phi =|\cos \phi |}$，

且

${\displaystyle h=|\mathbf {a} ||\cos \phi |}$。

我们得出结论：

${\displaystyle V=Ah=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||\cos \phi |}$ ，

于是，根据點积的定义，它等于 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$ 的绝对值，即

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$。

证毕。

對於三個向量${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$、${\displaystyle \mathbf {c} }$，向量三重积的定義為

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$。

值得注意的是，一般來說，

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\neq (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} }$。

以下恆等式，稱作三重積展開或拉格朗日公式，對於任意向量${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$、${\displaystyle \mathbf {c} }$均成立：

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {a} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )+\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

英文中有對於第一式有助記口訣BAC-CAB (BACK-CAB，後面的出租車)[1]，但是不容易記住第一式跟第二式的變化，很容易搞混。 觀察兩個公式，可得到以下三點：

• 兩個分項都帶有三個向量 （${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$）
• 三重積一定是先做叉积的兩向量之線性組合
• 中間的向量所帶的係數一定為正（此處為向量${\displaystyle \mathbf {b} }$）

我們可以由叉積的定義計算${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$的${\displaystyle x}$分量：

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

類推至${\displaystyle y}$和${\displaystyle z}$分量，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

所以

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$。

利用上述恆等式，可得以下結果：

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\;+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\;+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0}$ （雅可比恆等式）

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\;-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

在向量分析中，有以下与梯度相关的一條恆等式：

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} }$

这是一个拉普拉斯－德拉姆算子${\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} }$的特殊情形。