独立 (概率论)

兩個事件A和B是獨立的 当且仅当 ${\displaystyle \mathrm {Pr} (A\cap B)=\mathrm {Pr} (A)\mathrm {Pr} (B)}$。

這裡，A ∩ B是A和B的交集，即為A和B兩個事件都會發生的事件。

若有限个事件构成的集合${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$中每对事件都是独立的，则这些事件是兩兩獨立(pairwise independent)的。[1]

即当且仅当对任意的${\displaystyle i,j\in \{1,...,n\},i\neq j}$，有

${\displaystyle \mathrm {Pr} (A_{i}\cap A_{j})=\mathrm {Pr} (A_{i})\mathrm {Pr} (A_{j})}$

若有限个事件构成的集合${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$中每个事件都与任何其他事件构成的交集独立，则这些事件是相互獨立(mutually independent) 的。

即当且仅当對其任一有限子集A₁, ..., A_n，會有

${\displaystyle \Pr(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\Pr(A_{1})\,\cdots \,\Pr(A_{n})}$。

或写作：${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\Pr(A_{i}).\!\,}$

這被稱為獨立事件的乘法規則。

若兩個事件A和B是獨立的，則其B給之A的條件機率和A的「無條件機率」一樣，即

${\displaystyle \Pr(A\mid B)=\Pr(A)\,}$。

至少有兩個理由可以解釋為何此一敘述不可以當做獨立性的定義：(1)A和B兩個事件在此敘述中並不對稱，及(2)當機率為0亦可包含於此敘述時，會有問題產生。

若回想條件機率Pr(A | B)的定義為

${\displaystyle \Pr(A\mid B)={\Pr(A\cap B) \over \Pr(B)},}$ (只要Pr(B) ≠ 0 )

則上面的敘述則會等價於

${\displaystyle \Pr(A\cap B)=\Pr(A)\Pr(B)}$

即為上面所給定的標準定義。

注意獨立性並不和它在地方話裡的有相同的意思。例如，一事件獨立於其自身当且仅当：

${\displaystyle \Pr(A)=\Pr(A\cap A)=\Pr(A)\Pr(A)\,}$

亦即，其機率不是零就是一。因此，當一事件或其補集幾乎確定會發生，它即是獨立於其本身。例如，若事件A從單位區間的連續型均勻分佈上選了0.5，則A是獨立於其自身的，儘管重言式地，A完全決定了A。