磁单极子

理论物理学中，磁单极子是假设的仅带有北極或南極的单一磁极的基本粒子[1][2]。其磁感线分布类似于点电荷的电场线分布。更专业地说，这种粒子是一种带有一个单位“磁荷”（类比于电荷）的粒子。

絕對無法從磁棒製備出磁單極子。假設將磁棒一切為二，則不會發生一半是指北極，另一半是指南極的狀況，而會是切開的每一個部分都有其自己的指北極與指南極。

磁单极子的存在性在科学界時有紛爭。按照目前已被实验证实的物理学理论，磁现象是由运动电荷产生的，没有磁单极子，但数个尚未得到实验证实的超越标准模型的物理理论（如大统一理论和超弦理论）预测了磁单极子的存在，但截至2019年，尚未发现以基本粒子形式存在的磁单极子。磁单极子可以说是21世纪物理学界重要的研究主题之一。

非孤立的磁单极准粒子确实存在于某些凝聚态物质系统中，人工磁单极子已经被德国的一组研究者成功地制造出来。[3]但它们并非假设的基本粒子。

歷史

1269年，彼德勒斯·佩雷格林納斯在一封書信裏提到，磁石必會有兩極，「南極」與「北極」。[4]19世紀早期，安德烈-馬里·安培將這論述提升為假說。[5]^:19

目前的库仑定律只是针对电的定律，实际上当时，查尔斯·库仑也提出了磁的库仑定律，认为，两个磁荷间受到的力，与磁荷所带磁的大小成正比，与两个磁荷间的距离的平方成反比。[6][7]^:131但是，后来，随着安培定律等的发现，人们逐渐意识到，磁现象是由运动电荷产生的，没有独立的磁荷，因此，磁的库仑定律就被抛弃了。

英国物理学家保罗·狄拉克在1931年給出磁荷的量子理論。[8]他的論文闡明，假若在宇宙裏有任何磁荷存在，則所有在宇宙裏的電荷量必須量子化。這條件稱為「狄拉克量子化條件」。物理學者做實驗發現，電荷量的基本單位為基本電荷，這事實與磁單極子的存在相符合，但並未證實磁單極子的存在。[9]^:362

自此之後，许多物理学家开始了寻找磁单极子的工作。通过种种方式寻找磁单极子包括使用粒子加速器人工制造磁单极子均无收获。1975年，美国的科学家利用高空气球来探测地球大气层外的宇宙辐射时偶然发现了一条轨迹，当时科学家们分析认为这条轨迹便是磁单极子所留下的轨迹。1982年2月14日，在美国斯坦福大学物理系做研究的布拉斯·卡布雷拉宣称他利用超导线圈发现了磁单极子，然而事后他在重复他先前的实验时却未得到先前探测到的磁单极子，最终未能证实磁单极子的存在。内森·塞伯格（）和爱德华·威滕两位美国物理学家于1994年首次证明出磁单极子存在理论上的可能性。

概念

如果将带有磁性的金属棒截断为二，新得到的两根磁棒则会“自动地”产生新的磁场，重新编排磁场的北极、南极，原先的北极南极两极在截断磁棒后会转换成四极各磁棒一南一北。如果继续截下去，磁场也同时会继续改变磁场的分布，每段磁棒总是会有相应的南北两极。不少科学家因此认为磁极在宇宙中总是南北两极互补分离，成对的出现，对磁单极子的存在质疑。也有理论认为，磁单极子不是以基本粒子的形式存在，而是以自旋冰(spin ice)等奇异的凝聚态物质系统中的出射粒子的形式存在[10]。

麦克斯韦方程组

麦克斯韦的电磁学方程组将电场、磁场及电荷的运动联系在了一起。标准的麦克斯韦方程中只描述了电荷，而假定不存在“磁荷”。除了这一点不同以外，麦克斯韦方程在电场和磁场的互换中具有对称性。事实上，如果假定所有的电荷都为零（因此电流也为零），則可以写出具有完全对称性的麦克斯韦方程，这实际上就是得出电磁波方程式的方法。

当然，还有另一种方法来写出具有完全对称性的麦克斯韦方程组，那就是允许与电荷相似的“磁荷”的存在。这样方程组中就会出现“磁荷密度”ρ_m这个变量，于是方程组中也就又会出现“磁流密度”j_m这个变量。

但如果磁荷实际上不存在，或者它不在宇宙中任何地方出现，那么方程组中的这些新变量就都为0，那么延伸后的麦克斯韦方程组就自然退化为通常的电磁学方程组，∇⋅B = 0（这里∇⋅代表散度，而B是磁场）。

2013[11] 年，塞爾吉奧·塞維里尼 (Sergio Severini) 和亞歷山德羅·塞蒂米 (Alessandro Settimi) 有興趣為麥克斯韋第二方程提供一個新的視角，該方程具有零散度，並且與磁感應場有關。為此，兩位作者考慮了由大質量、帶電和非相對論粒子組成的系統的某些物理方面，作為在自由空間中傳播的電磁場 (EM) 的來源。特別是，深入研究了總動量守恆與磁感應場零散度條件之間的聯繫。這篇科學文章提出了一個新的背景，其中整個空間中磁感應場的零散度特性的必要條件，稱為螺線管條件，直接來自系統總動量守恆，即源和場。總的來說，這項研究得出的結果對磁單極子的存在或至少可觀察性留下了一些懸而未決的問題，只有在適當的對稱假設下才在理論上合理。

左图：静电荷和静磁荷所产生的场。右图：以速度v运动时，电荷激起B场，而磁荷激起E场。带荷粒子移动的方向即是电流和磁流的方向。

上图：电偶极矩为d的电偶极子的E场。左下图：数学上由两个磁单极子组成的磁偶极矩为m的磁偶极所产生的B场。右下图：存在于真实物质之中的自然的磁偶极矩为m的磁偶极（不由磁单极子组成）所产生的B场。

电荷（黑/白）和磁荷（红/蓝）所产生的E场和B场。[12][13]

在高斯CGS单位制中

采用CGS单位制，延伸后的麦克斯韦方程组为[14][5]^:18

方程名称	不考虑磁单极的存在性	考虑到磁单极的存在性（假设）
高斯定律:	$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho _{e}$
高斯磁定律:	$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0$	$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =4\pi \rho _{m}$
法拉第电磁感应定律:	$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{m}$
安培定律（带入麦克斯韦方程组）：	$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{e}$
洛仑兹力定律：	$\mathbf {F} =q_{\mathrm {e} }\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} \right)$	$\mathbf {F} =q_{\mathrm {e} }\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} \right)+q_{\mathrm {m} }\left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {E} \right)$

在这些方程中，ρ_m是磁荷密度，j_m是磁流密度，q_m是测试粒子的磁荷，这些物理量的定义都与相应的与电荷与电流有关的物理量相似，v是粒子运动的速度，而c是真空光速。对于其它的细节和定义，见麦克斯韦方程组。对于在去量纲化的普朗克单位制下的这些方程，去掉系数c。

馬克士威方程組明白顯示出，在宇宙裏，磁荷不存在，只有電荷存在。至今為止，確實從未有任何實驗發現磁荷存在。假若磁荷存在，則高斯磁定律與法拉第感應定律都需要修改，馬克士威方程組內會增添兩個新的變量，磁荷 $\rho _{m}$ 和磁流 $\mathbf {J} _{m}$ 。經過修正後的方程組，會對於以下對調運作，具有不變性：[15]^:273-275

{\begin{matrix}\rho _{e}\to \rho _{m}\quad &\mathbf {E} \to \mathbf {B} \quad &j_{e}\to j_{m}\\\rho _{m}\to -\rho _{e}\quad &\mathbf {B} \to -\mathbf {E} \quad &j_{m}\to -j_{e}\end{matrix}}

。

在国际单位制中

在国际单位制中，磁荷q_m有两个互相冲突的单位：韦伯（Wb）和安培米（A·m）这两种单位之间的换算为：q_m(Wb) = μ₀q_m(A·m)，这可由量纲分析1 Wb = 1 H·A = (1 H·m⁻¹)·(1 A·m)得出。（H是亨利）麦克斯韦方程组有如下形式：

方程名称	不考虑磁单极的存在	韦伯形式	安培米形式
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {e} }}{\epsilon _{0}}}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =\rho _{\mathrm {m} }$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\rho _{\mathrm {m} }$
法拉第电磁感应定律	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\mathbf {j} _{\mathrm {m} }$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\mu _{0}\mathbf {j} _{\mathrm {m} }$
安培定律（带入麦克斯韦方程组）	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mu _{0}\mathbf {j} _{\mathrm {e} }$
洛仑兹力定律	$\mathbf {F} =q_{\mathrm {e} }\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$	${\begin{aligned}\mathbf {F} &=q_{\mathrm {e} }\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\&+{\frac {q_{\mathrm {m} }}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {E} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {F} &=q_{\mathrm {e} }\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\&+q_{\mathrm {m} }\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {E} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$

在自然單位制中

馬克士威方程組（自然單位制）[16]^:384
名稱	磁單極子不存在	磁單極子存在
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{e}$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{e}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =\rho _{m}$
法拉第感應定律	$-\nabla \times \mathbf {E} ={\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$-\nabla \times \mathbf {E} ={\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {j} _{m}$
馬克士威-安培定律	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {j} _{e}$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {j} _{e}$

张量公式

如果我们以张量的形式写下麦克斯韦方程组，那么其洛仑兹协变性就会很明显。这些推广了的公式包括：[17][14]

麦克斯韦方程	高斯单位制	国际单位制(Wb)	国际单位制(A⋅m)
法拉第-高斯定律	$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}J_{\mathrm {e} }^{\beta }$	$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J_{\mathrm {e} }^{\beta }$	$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J_{\mathrm {e} }^{\beta }$
安培-高斯定律	$\partial _{\alpha }{\star F^{\alpha \beta }}={\frac {4\pi }{c}}J_{\mathrm {m} }^{\beta }$	$\partial _{\alpha }{\star F^{\alpha \beta }}={\frac {\mu _{0}}{c}}J_{\mathrm {m} }^{\beta }$	$\partial _{\alpha }{\star F^{\alpha \beta }}={\frac {1}{c}}J_{\mathrm {m} }^{\beta }$
洛仑兹力定律	${\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}={\frac {1}{c}}\left[q_{\mathrm {e} }F_{\alpha \beta }v^{\beta }+q_{\mathrm {m} }{\star F_{\alpha \beta }}v^{\beta }\right]$	${\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}=q_{\mathrm {e} }F_{\alpha \beta }v^{\beta }+q_{\mathrm {m} }{\star F_{\alpha \beta }}v^{\beta }$	${\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}=q_{\mathrm {e} }F_{\alpha \beta }v^{\beta }+{\frac {q_{\mathrm {m} }}{\mu _{0}}}{\star F_{\alpha \beta }v^{\beta }}$

这里：

F是电磁张量， $\star$ 代表着霍奇对偶（应此 $\star$ F代表着F的对偶张量）；
对于带有电荷q_e和磁荷q_m的运动粒子，v是粒子的四维速度，p是粒子的四维动量；
对于电荷和磁荷分布，J_e = (ρ_e, j_e)是四维电流密度，而J_m = (ρ_m, j_m)是四维磁流密度。

对偶变换

推广后的麦克斯韦方程组具有一种特定的对称性，叫做对偶变换。我们可以选择任意实角度ξ，对宇宙中所有的荷和场同时作如下变换：

荷和流	场
${\begin{pmatrix}\rho _{\mathrm {e} }\\\rho _{\mathrm {m} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \xi &-\sin \xi \\\sin \xi &\cos \xi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{\mathrm {e} }'\\\rho _{\mathrm {m} }'\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}\mathbf {E} \\\mathbf {H} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \xi &-\sin \xi \\\sin \xi &\cos \xi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {E'} \\\mathbf {H'} \end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}\mathbf {J} _{\mathrm {e} }\\\mathbf {J} _{\mathrm {m} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \xi &-\sin \xi \\\sin \xi &\cos \xi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {J} _{\mathrm {e} }'\\\mathbf {J} _{\mathrm {m} }'\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}\mathbf {D} \\\mathbf {B} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \xi &-\sin \xi \\\sin \xi &\cos \xi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {D'} \\\mathbf {B'} \end{pmatrix}}$

这里带撇的量是变换前的荷、流、场，而不带撇的是变换后的荷、流、场。这些荷、流、场在变换后仍遵守同样的麦克斯韦方程组。这个矩阵是一个二维旋转矩阵。

对偶变换的存在使得观测者无法仅凭观测一个粒子的行为并将其与麦克斯韦方程对照就能判断这个粒子到底是具有电荷、磁荷还是两者皆有。例如事实上，电子具有1个单位电荷而不是磁荷仅仅是人们使用麦克斯韦方程的一个习惯，而不是其所要求的；如果我们对其进行ξ = ^π/₂对偶变换，事情就会颠倒过来。我们唯一的实验事实是，我们所观测到的所有粒子都具有相同比例的电荷和磁荷。对偶变换可以改变这个比例的数值，但它无法改变所有物质的电磁荷比是相同的这一事实。应此在这种情况下，我们可以将这个比例定为1:0，即任何粒子都不具有磁荷。这一选择就引出了我们“习惯的”关于电和磁的定义。

狄拉克的量子化

量子论中的一个重要进步便是保罗·狄拉克在创建一个相对论性的量子电磁学理论时所作的工作。在他发现他的公式之前，电荷的存在似乎是“强行插入”到量子力学的方程中去的，但在1931年，狄拉克证明了一个非连续的荷能够自然地从量子力学产生出来。这也就是说，我们依然能够保留麦克斯韦方程组的形式，而仍然拥有磁荷。

我们可以考虑这样一个系统，其是由一个静电单极子（比如一个电子）和一个静磁单极子构成的。从经典理论来看，它们周围的电磁场有一个由坡印廷矢量给出的动量密度，它也有一个正比于乘积q_eq_m的总角动量，并且与两个粒子之间的距离无关。

但是在量子力学的框架下，角动量被量子化为ħ的特定倍数，所以乘积q_eq_m也要被量子化。这意味着只要哪怕宇宙中只存在一个磁单极子，并且麦克斯韦方程组是有效的，那么电荷就会顺利地被量子化。

那么，在哪种单位制下，磁荷能被量子化呢？虽然我们可以对整个空间积分来算出上述例子中的总角动量，狄拉克采取了另一种方法，这让他有了新的想法。他考虑到有一个位于坐标原点的点磁荷，它在距原点r处产生的磁感应正比于q_m / r²向外呈辐射状。因为B的散度几乎在任何地点都为0，除了原点，也就是点磁荷所在之处，所以我们可以局域地定义磁矢势A，使磁矢势A的旋度等于磁感应B。

但是，磁矢势并不能在全局精确地定义，因为磁感应在原点的散度正比于狄拉克δ函数。我们必须为“北半球”（z>0在粒子之上的半空间）和“南半球”（z<0在粒子之下的半空间）的磁矢势定义一系列函数。这两种磁矢势在“赤道”（z=0穿过粒子的平面）相吻合，并且区别于规范变换。一个环绕“赤道”平面旋转的带电粒子（试探电荷）的波函数总的在一种十分像阿哈罗诺夫－玻姆效应的相态下变化。这种相态正比于试探电荷q_e和源磁荷q_m。狄拉克原本考虑的是一个波函数由狄拉克方程描述的电子。

因为电子在绕行一圈后总是回到同一点，其波函数exp(iφ)中的相态φ一定是不变的。这意味着添加到波函数中的相态φ一定是2π的整数倍：

单位	状况
高斯cgs单位制	$2{\frac {q_{\mathrm {e} }q_{\mathrm {m} }}{\hbar c}}\in \mathbb {Z}$
国际单位制（韦伯形式）[18]	${\frac {q_{\mathrm {e} }q_{\mathrm {m} }}{2\pi \hbar }}\in \mathbb {Z}$
国际单位制（安培·米形式)	${\frac {q_{\mathrm {e} }q_{\mathrm {m} }}{2\pi \epsilon _{0}\hbar c^{2}}}\in \mathbb {Z}$

这里ε₀是真空电容率，ħ = h/2π是约化普朗克常数，c是真空光速，ℤ是整数集。

这就是狄拉克的量子化条件。假想的磁单极子的存在意味着电荷必须量子化为某一单位的整数倍；同样，电单极子的存在意味着假想的磁单极子的磁荷也必须量子化为反比于电荷基本单位的磁荷基本单位的整数倍。

在当时人们还不知道这种东西是否存在，甚至不知道它是否真的需要存在。毕竟，其它理论可能在任何时候出现并且不用磁单极子就能解释电荷量子化。磁单极子假设更像是对自然规律的一个好奇的大胆猜测。然而，自从这启发性的成果发布以来，普遍被人接受的能解释电荷量子化的理论一直没有出现。（局域规范不变性的概念—见规范场论—提供了自然的不需磁单极子就能解释电荷量子化的理论；但前提是U(1)规范对称群要是紧致的，否则还是会有磁单极子出现。）

如果我们最大限度地扩展磁矢势在“南半球”的定义，那么除了一条从原点一直指向“北极”的射线以外，磁矢势在任何地方都有定义。这条射线叫做狄拉克弦，它对波函数的影响类似于阿哈罗诺夫－玻姆效应中的螺线管。这个量子化条件得出依赖于我们认为狄拉克弦是不重要的，狄拉克弦一定是不真实的。狄拉克弦一定只是一个人工产物，只是一个不应该被认真对待的坐标系列。

狄拉克磁单极子是麦克斯韦方程组的一个奇异解（因为它需要从时空中去除世界线）；在一些更复杂的理论中，它被平滑的解所代替，例如胡夫-波利亚科夫磁单极子

拓扑解释

参看

弦理论
阿哈諾夫－波姆效應
楊-米爾斯理論
吴-杨磁单极子

参考文献

Hooper, Dan. . Harper Collins. 2009-10-06 [2021-10-12]. ISBN 9780061976865. （原始内容存档于2021-07-02） –Google Books.
(PDF). lbl.gov. [2021-10-12]. （原始内容存档 (PDF)于2017-05-16）.
. [2013-10-13]. （原始内容存档于2013-10-06）.
The letter of Petrus Peregrinus on the magnet, A.D. 1269 Translated by Brother Arnold (New York, McGraw Publishing, 1904)
Julian Schwinger; Lester L. Deraad Jr.; Kimball Milton; Wu-yang Tsai. . Perseus Books. 11 September 1998. ISBN 978-0-7382-0056-9.
弗·卡约里，《物理学史》，103页，广西师范大学出版社，2002年
Cajori, Florian, , The Macmillan Company, 1917
Paul Dirac, "Quantised Singularities in the Electromagnetic Field". Proc. Roy. Soc. (London) A 133, 60 (1931). Journal Site, Free Access （页面存档备份，存于）（页面存档备份，存于）.
Griffiths, David J., , Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-805326-X
C. Castelnovo; R. Moessner1, S. L. Sondhi. . Nature. 3 January 2008, 451: 42–45 [2008-01-04]. doi:10.1038/nature06433. （原始内容存档于2008-01-06）.
Severini, S.; Settimi, A., , Physics Research International, 2013, 2013 (ID292834): 1–5, doi:10.1155/2013/292834
Parker, C.B. 2nd. Mc Graw Hill. 1994. ISBN 0-07-051400-3.
M. Mansfield, C. O’Sullivan. 4th. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 978-0-47-0746370.
F. Moulin. . Cachan, France. 2002 [2013-10-04]. arXiv:math-ph/0203043 . （原始内容存档于2016-10-07）.
Jackson, John David, 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 978-0-471-30932-1
Oleg Boyarkin. . CRC Press. 16 February 2011. ISBN 978-1-4398-0418-6.
J.A. Heras, G. Baez. . Mexico. 2009 [2013-10-04]. arXiv:0901.0194 . （原始内容存档于2016-10-08）.
Jackson 1999, section 6.11, equation (6.153), page 275
. Science Daily. Sep 4, 2009 [2009年9月7日]. （原始内容存档于2016年4月10日）.
. 南方周末. 2009年9月17日 [2009年10月24日]. （原始内容存档于2009年11月24日）.
. 科技新報. 2023年12月8日 [2024-04-30].
. Inverse. 2023年12月6日 [2024-04-30].
. University of Cambridge. 2023年12月5日 [2024-04-30].

外部链接

寻找「磁单极子」实验的分析
科学家找到磁单极子存在证据（页面存档备份，存于）

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[Hooper-1] Hooper, Dan. . Harper Collins. 2009-10-06 [2021-10-12]. ISBN 9780061976865. （原始内容存档于2021-07-02） –Google Books.

[2] (PDF). lbl.gov. [2021-10-12]. （原始内容存档 (PDF)于2017-05-16）.

[3] . [2013-10-13]. （原始内容存档于2013-10-06）.

[4] The letter of Petrus Peregrinus on the magnet, A.D. 1269 Translated by Brother Arnold (New York, McGraw Publishing, 1904)

[SchwingerJr.1998-5] Julian Schwinger; Lester L. Deraad Jr.; Kimball Milton; Wu-yang Tsai. . Perseus Books. 11 September 1998. ISBN 978-0-7382-0056-9.

[6] 弗·卡约里，《物理学史》，103页，广西师范大学出版社，2002年

[7] Cajori, Florian, , The Macmillan Company, 1917

[8] Paul Dirac, "Quantised Singularities in the Electromagnetic Field". Proc. Roy. Soc. (London) A 133, 60 (1931). Journal Site, Free Access （页面存档备份，存于）（页面存档备份，存于）.

[Griffiths1998-9] Griffiths, David J., , Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-805326-X

[10] C. Castelnovo; R. Moessner1, S. L. Sondhi. . Nature. 3 January 2008, 451: 42–45 [2008-01-04]. doi:10.1038/nature06433. （原始内容存档于2008-01-06）.

[11] Severini, S.; Settimi, A., , Physics Research International, 2013, 2013 (ID292834): 1–5, doi:10.1155/2013/292834

[12] Parker, C.B. 2nd. Mc Graw Hill. 1994. ISBN 0-07-051400-3.

[13] M. Mansfield, C. O’Sullivan. 4th. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 978-0-47-0746370.

[Moulin-14] F. Moulin. . Cachan, France. 2002 [2013-10-04]. arXiv:math-ph/0203043 . （原始内容存档于2016-10-07）.

[Jackson-15] Jackson, John David, 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 978-0-471-30932-1

[Boyarkin2011-16] Oleg Boyarkin. . CRC Press. 16 February 2011. ISBN 978-1-4398-0418-6.

[17] J.A. Heras, G. Baez. . Mexico. 2009 [2013-10-04]. arXiv:0901.0194 . （原始内容存档于2016-10-08）.

[18] Jackson 1999, section 6.11, equation (6.153), page 275

[19] . Science Daily. Sep 4, 2009 [2009年9月7日]. （原始内容存档于2016年4月10日）.

[20] . 南方周末. 2009年9月17日 [2009年10月24日]. （原始内容存档于2009年11月24日）.

[21] . 科技新報. 2023年12月8日 [2024-04-30].

[22] . Inverse. 2023年12月6日 [2024-04-30].

[23] . University of Cambridge. 2023年12月5日 [2024-04-30].