磁矩

假設一個平面載流迴圈的面積向量為${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$、所載電流為${\displaystyle I\,\!}$，則其磁偶極矩為${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$。

對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$是

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$；

其中，${\displaystyle I\,\!}$是迴圈所載有的恆定電流，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$是平面迴圈的面積向量。

面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出：令四隻手指朝著電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。

這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$不變，則所有更高階的磁矩會趨向於零，這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子，或純磁偶極子。

對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流${\displaystyle I\,\!}$，則其磁偶極矩為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} \,\!}$是積分曲面，${\displaystyle \mathbb {C} \,\!}$是${\displaystyle \mathbb {S} \,\!}$邊緣的閉合迴路，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}$是微小面積元素，${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$是微小線元素，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$的位置。

引用向量恆等式

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$，

即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$。

對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$是積分體積，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是源電流位置，${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$是電流密度，${\displaystyle \mathrm {d} V\,\!}$是微小體積元素。

任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。

在原子物理學和核子物理學裏，磁矩的大小標記為${\displaystyle \mu \,\!}$，通常測量單位為波耳磁子或核磁子（）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：

欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。

處於均勻磁場的一個方形載流迴圈。

如圖右，假設載有電流${\displaystyle I\,\!}$的一個方形迴圈處於外磁場${\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。方形迴圈四個邊的邊長為${\displaystyle w\,\!}$，其中兩個與${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!}$平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為${\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!}$。

垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {\mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\,\!}$。

另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!}$。所以，這迴圈感受到的磁力矩為

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}$。

令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}$不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。

當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值${\displaystyle \mu B_{0}\,\!}$；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。

將載流迴圈從角弧${\displaystyle \theta _{1}\,\!}$扭轉到角弧${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$，磁場所做的機械功${\displaystyle W\,\!}$為

${\displaystyle W=-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}})\,\!}$。

注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向，而${\displaystyle \theta \,\!}$是朝著順時針方向遞增，所以必須添加一個負號。設定${\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!}$，則

${\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧${\displaystyle \pi /2\,\!}$扭轉到角弧${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$，所做的機械功${\displaystyle W_{a}\,\!}$為

${\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

定義載流迴圈的勢能${\displaystyle U\,\!}$等於這機械功${\displaystyle W_{a}\,\!}$，以方程式表示為

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

與前段所述同理，磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，勢能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，勢能是最小值${\displaystyle -\mu B_{0}\,\!}$；當磁偶極矩與磁場呈相反方向時，勢能是最大值${\displaystyle \mu B_{0}\,\!}$。

假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路${\displaystyle \mathbb {C} '\,\!}$的磁場力等於零：

${\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times \mathbf {B} =0\,\!}$。

假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同[6]。採用常見的「電流模型」，則一個磁偶極子所感受到的磁場力為

${\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} )\,\!}$。

另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為

${\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!}$。

兩者之間的差別為

${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!}$。

假設，電流等於零，電場不含時間，則根據馬克士威-安培方程式，

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!}$，

兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年，兩個不同的實驗，研究中子的散射於鐵磁性物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合[6]。

一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有1安培電流，半徑${\displaystyle r'\,\!}$為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈，其磁偶極矩為：

${\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}$。

磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據：

• 假設場位置的距離${\displaystyle r\,\!}$超遠於迴圈半徑${\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!}$，則磁場會呈反立方減弱：

沿著迴圈的中心軸，磁矩與場位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$平行：

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}$。

在包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置：

${\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}$。

負號表示平面任意位置案例與中心軸案例，這兩個案例的磁場呈相反方向。

• 假設在地球的某地方，地磁場${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$的數值大約為0.5 高斯（5×10⁻⁵ 特斯拉），而且迴圈磁矩垂直於地磁場${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$，則此迴圈所感受到的力矩為

${\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}$。

• 應用力矩的觀念，可以製造出羅盤。假設這羅盤的磁針，由於力矩的作用，從磁針的磁矩垂直於地磁場${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$，旋轉至磁針的磁矩與地磁場${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$呈相同方向，則這羅盤-地球系統釋放出的能量${\displaystyle U\,\!}$為

${\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}$ 。

由於羅盤懸浮系統的摩擦機制，這能量是以熱量的形式耗散淨盡。

螺線管三維電腦繪圖。

一個多匝線圈（或螺線管）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。

假設螺線管的匝數為${\displaystyle N\,\!}$，每一匝線圈面積為${\displaystyle a\,\!}$，通過電流為${\displaystyle I\,\!}$，則其磁矩為

${\displaystyle \mu =NIa\,\!}$。

假設，一個點電荷${\displaystyle q\,\!}$以等速${\displaystyle v\,\!}$繞著z-軸，移動於半徑為${\displaystyle r\,\!}$的平面圓形路徑，則其電流為[7]

${\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!}$。

其磁矩為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。

其角動量${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$為

${\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。

其中，${\displaystyle m\,\!}$是載電粒子的質量。

所以，磁矩與角動量的經典關係為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}\mathbf {J} \,\!}$。

對於電子，這經典關係為

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}\mathbf {J} \,\!}$；

其中，${\displaystyle m_{e}\,\!}$是電子的質量，${\displaystyle e\,\!}$是電子的絕對電量。

假設，這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子。由於離心力等於庫侖吸引力，

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是電常數。

現在施加外磁場${\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$於此氫原子，則會有額外的勞侖茲力作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為${\displaystyle v_{B}\,\!}$，則

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}}\,\!}$。

所以，

${\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}}\,\!}$。

假設，兩個速度的差別${\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!}$超小，則

${\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}}\,\!}$。

所以，由於施加外磁場${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$，磁矩的變化為

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$。

注意到${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$與${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$呈相反方向，因而減弱了磁場。這是抗磁性的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。

為了簡略計算，使用半經典方法[8]，可以求出磁矩的變化為

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!}$是半徑平方的期望值。

電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性，涉及到量子力學。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩（）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振。

電子的磁矩是

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{e}\,\!}$是電子的朗德g因子，${\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!}$是波耳磁子，${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$是電子的自旋角動量。

按照前面計算的經典結果，${\displaystyle g_{e}=1\,\!}$；但是，在狄拉克力學裏，${\displaystyle g_{e}=2\,\!}$；更準確地，由於量子電動力學效應，它的實際値稍微大些，${\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!}$。

請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子），其磁矩與自旋呈相同方向。

在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合（）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩${\displaystyle \mu \,\!}$與總角動量${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$的關係為[9]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{J}\,\!}$是原子獨特的朗德g因子。

磁矩對於磁場方向的分量${\displaystyle \mu _{z}\,\!}$是

${\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!}$是總角動量對於磁場方向的分量，${\displaystyle J_{m}\,\!}$是磁量子數，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。

因為電子帶有負電荷，所以${\displaystyle \mu _{z}\,\!}$是負值。

處於磁場的磁偶極子的動力學，不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \gamma \,\!}$是迴轉磁比率（） ，${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$是磁場。

注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分：

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!}$是有效磁場（外磁場加上任何自身場），${\displaystyle \lambda \,\!}$是阻尼係數。

這樣，可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式（）[10]：

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}$。

方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。

核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。

雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函數的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。

任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：

• 假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（順磁性貢獻）
• 電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（抗磁性貢獻）
• 依照核自旋組態，核自旋所產生的總磁矩。

• 氧分子，O₂，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。
• 二氧化碳分子，CO₂，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像¹³C或¹⁷O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。
• 氫分子，H₂，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體，正氫或仲氫，都具有這種物理性質。