立方數

立方數指可以寫成的數,當中必為整數。立方數是邊長立方體體積。作為算術用語的「立方」,表示任何數的三次,可用³Unicode字元179)來表示。

平方數不同,立方數可存在負數

若將立方数概念扩展到有理数,则两个立方数的比仍然是立方数,例如, (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若一个整数没有除了 1 之外的立方数為其因數,则称其为無立方數因數的數

首十二個立方數OEISA000578為:1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, ...(第零個是0)

雖然形狀不同,每個立方數第個立方數同時都是第六角錐數,即首個中心六邊形數之和。

立方數和

個正立方數之和為,即第三角形數平方

每個整數均可表示成9個或以下的正立方數之和。(華林問題)

1939年,狄克森證明只有23和239需要用9個正立方數的和來表示。

亞瑟·韋伊費列治證明只有15個整數須用8個:15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454OEISA018889

的士數和士的數都指最小能表示成兩個立方數之和的數,但的士數的必須為正數,士的數則無此限。(見1729)

只有一組連續三個立方數之和亦是立方數,就是3, 4, 5的立方,其和等於6的立方。

十进制,除了1之外,僅有4個的正整數其數字立方之和等同它本身,它們為153, 370, 371, 407,他們是的自戀數。這4個三位數,亦可視為將它的數字分成三份,每份的立方之和,相似性質的整數有無限個,如165033, 221859, 336700等(OEISA056733)。

性質

  • 除了0以外,立方數不可能是普洛尼克數。[註 1]
  • 除了0以外,立方數也不可能是連續若干個(至少兩個)數的積。[註 2]
  • 除了0,1,8以外,立方數不可能是費波那契數
  • 除了1以外,立方數也不可能是盧卡斯數
  • 除了0,1以外,立方數不可能是佩爾數
  • 除了0,1以外,立方數不可能是三角形數五角數等多邊形數。
  • 除了1以外,立方數不可能是中心正方形數、中心五邊形數等中心多邊形數。
  • 除了1,8以外,立方數也不可能是烏拉姆數列出現的數。
  • 除了1,226981(61的立方)以外,立方數不可能是星數。
  • 除了1以外,立方數在楊輝三角形只出現二次。
  • 除了0000和9999以外,立方數末4四位數不可能相同
  • 立方數不可能是楔形數、半質數。
  • 0以外的立方數每一位數數字相加之和,不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 8, 9。
  • 是否在相继立方數之间存在一个素数这一命题,对1000000000000以内的数目是正确的。
  • 立方數是模任何整數的三次剩餘;另外,如果某個整數是模任何整數的三次剩餘,那麼它一定是立方數。
  • 立方數的正因數個數一定是3的倍數加1。

涉及立方数和的问题

的整数解

  1. 方程除了有4组解以外,是否还有其它整数解?
  2. 方程有整数解[1]
  3. 方程有整数解[2]
  4. 方程是否有整数解?

其他

  • 立方質數的定義為,其中

参见

註釋

  1. 因為n與(n+1)差1,所以兩數互質,故若n×(n+1)為立方數,則n與(n+1)也皆為立方數,2個立方數差1,則必為0與1,因此唯一的普洛尼克數兼立方數為0=0×1。
  2. 連續若干個(剛好兩個)數的積是普洛尼克數。


外部链接

参考文献

  1. Booker, Andrew R., (PDF), University of Bristol, 2019 [2019-07-01], (原始内容存档 (PDF)于2021-02-14)
  2. Prof. Booker. . [2019-09-07]. (原始内容存档于2020-05-11).
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