立方數

首${\displaystyle n}$個正立方數之和為${\displaystyle \left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}}$，即第${\displaystyle n}$個三角形數的平方

每個整數均可表示成9個或以下的正立方數之和。（華林問題）

1939年，狄克森證明只有23和239需要用9個正立方數的和來表示。

亞瑟·韋伊費列治證明只有15個整數須用8個：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 （ A018889）

的士數和士的數都指最小能表示成兩個立方數之和的數，但的士數的必須為正數，士的數則無此限。（見1729）

只有一組連續三個立方數之和亦是立方數，就是3, 4, 5的立方，其和等於6的立方。

在十进制，除了1之外，僅有4個的正整數其數字立方之和等同它本身，它們為153, 370, 371, 407，他們是${\displaystyle n=3}$的自戀數。這4個三位數，亦可視為將它的數字分成三份，每份的立方之和，相似性質的整數有無限個，如165033, 221859, 336700等（ A056733）。

• 除了0以外，立方數不可能是普洛尼克數。[註 1]
• 除了0以外，立方數也不可能是連續若干個（至少兩個）數的積。[註 2]
• 除了0，1，8以外，立方數不可能是費波那契數。
• 除了1以外，立方數也不可能是盧卡斯數。
• 除了0，1以外，立方數不可能是佩爾數。
• 除了0，1以外，立方數不可能是三角形數、五角數等多邊形數。
• 除了1以外，立方數不可能是中心正方形數、中心五邊形數等中心多邊形數。
• 除了1，8以外，立方數也不可能是烏拉姆數列出現的數。
• 除了1，226981（61的立方）以外，立方數不可能是星數。
• 除了1以外，立方數在楊輝三角形只出現二次。
• 除了0000和9999以外，立方數末4四位數不可能相同
• 立方數不可能是楔形數、半質數。
• 0以外的立方數每一位數數字相加之和，不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 8, 9。
• 是否在相继立方數之间存在一个素数这一命题，对1000000000000以内的数目是正确的。
• 立方數是模任何整數的三次剩餘；另外，如果某個整數是模任何整數的三次剩餘，那麼它一定是立方數。
• 立方數的正因數個數一定是3的倍數加1。

• 立方質數的定義為${\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$，其中${\displaystyle x=y+1}$或${\displaystyle x=y+2}$。

• 平方数
• 四次方數
• 五次方數

• http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html （页面存档备份，存于）