虚数
虛數是指可以写作实数与虚数单位乘积的複數[1] ,並定義其性質為,以此定義,0可被視為同時是實數也是虛數(純虛數)的數值[2]。
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17世纪著名數學家笛卡爾所著《幾何學》(法語:)一書中,命名其為(虛構的數),成為了虛數()一詞的由來。
後來在歐拉和高斯的研究之後,發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面,複數平面上每一點對應着一個複數。
幾何詮釋
在幾何學上,複數平面的垂直軸表示虛數,它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線:往右側正幅度增長,往左側則負幅度減少。在x軸的0點處,往上升方向可繪製y軸的“正”虛數,然後向上增加;而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”,並被表示為,Im,,或。
在該呈現圖示中,乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉,而方程式可被解釋為,如果我們對原點應用兩個90度旋轉,則終了結果是單一個180度旋轉。注意,“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了也解出了方程。一般來說,乘以複數與以複數辐角圍繞原點的旋轉相同,然後按其大小進行縮放。
負數的平方根
我們應該將根號視為求的解,故將一個數開根號後會有兩個合理的值,此二值互相差一個負號。在將正數開根號時,這兩個值一為正數一為負數,故習慣上直接將根號對應到正值,而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應,實際上代表的是兩個數,分別為及。但若直接將對應到,而對應到也未嘗不可。
性質
1. 不同的虛數都是不能比較大小的:成立,但和卻均不成立。
舉例說明:(反證法)
假設
平方得
得即可看出矛盾。
再舉例:假設
平方得(不等式兩側同乘假設為負的,不等式由小於變為大於)
得即可看出矛盾。
因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。
2. 因爲,,,,,,很容易知道()是關於指數的週期函數,最小正週期是。於是,我們有
這表示為方程的一個根,另三個根分別為及。
另外可以證明
和
爲下列方程的根
其中,稱爲的共軛虛數(或共軛複數)。
3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去,就可以組成四元數(Quaternion)、八元數(Octonion)等特殊數學範疇。