跡

給定一個環${\displaystyle \mathbb {R} }$，跡是一個從係數在環中的${\displaystyle n\times n}$矩陣的空間${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$射到環${\displaystyle \mathbb {R} }$之上的線性算子。也就是說，對於任兩個${\displaystyle n\times n}$的矩陣${\displaystyle \mathbf {A} }$、${\displaystyle \mathbf {B} }$和純量${\displaystyle r}$，都有：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )+\mathrm {tr} (\mathbf {B} )}$

${\displaystyle \mathrm {tr} (r\cdot \mathbf {A} )=r\cdot \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}$[2]

更進一步來說，當${\displaystyle \mathbb {R} }$是一個域時，跡數函數${\displaystyle \mathrm {tr} }$是${\displaystyle n\times n}$矩陣的空間${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$上的一個線性泛函。

由於一個矩陣${\displaystyle \mathbf {A} }$的轉置矩陣${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$的主對角線元素和原來矩陣的主對角線元素是一樣的，所以任意一個矩陣和其轉置矩陣都會有相同的跡[2]：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{T}\right)}$

設A是一個${\displaystyle n\times m}$矩陣，B是個${\displaystyle m\times n}$矩陣，則：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )}$[2]

其中${\displaystyle \mathbf {AB} }$是一個${\displaystyle n\times n}$矩陣，而${\displaystyle \mathbf {BA} }$是一個${\displaystyle m\times m}$矩陣。

上述的性質可以由矩陣乘法的定義證明：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {AB} )_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\mathbf {A} _{ij}\mathbf {B} _{ji}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{ji}\mathbf {A} _{ij}=\sum _{j=1}^{m}(\mathbf {BA} )_{jj}=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )}$

如果${\displaystyle \mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {B} }$都是${\displaystyle n\times n}$的方形矩陣，那麼它們的乘積${\displaystyle \mathbf {AB} }$和${\displaystyle \mathbf {BA} }$也會是方形矩陣。因此，利用這個結果，可以推導出：計算若干個同樣大小的方形矩陣的乘積的跡數時，可以循環改變乘積中方形矩陣相乘的順序，而最終的結果不變[2]。例如，有三個方形矩陣${\displaystyle \mathbf {A} }$、${\displaystyle \mathbf {B} }$和${\displaystyle \mathbf {C} }$，則：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )}$[3]

但是要注意：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )\neq \mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )}$[3]

更一般地，乘積中的矩陣不一定要是方形矩陣，只要某一個循環改變後的乘積依然存在，那麼得到的跡數依然會和原來的跡數相同[2]。

另外，如果${\displaystyle \mathbf {A} }$、${\displaystyle \mathbf {B} }$和${\displaystyle \mathbf {C} }$是同樣大小的方陣而且還是對稱矩陣的話，那麼其乘積的跡数不只在循環置換下不會改變，而且在所有的置換下都不會改變：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CBA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BAC} )}$

跡數擁有相似不變性。如果矩陣${\displaystyle \mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {B} }$相似的話，它們會有相同的跡。這一性質可使上面講過的循環性質來證明：

矩陣${\displaystyle \mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {B} }$相似也就是說存在可逆矩陣${\displaystyle \mathbf {P} }$，使得${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1}}$

因此${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1})=\mathrm {tr} (\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {P} \mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )}$

一个${\displaystyle n\times n}$的方形矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的特征多项式${\displaystyle P_{A}(\lambda )}$定义为${\displaystyle \mathbf {A} }$减去${\displaystyle \lambda }$倍的单位矩阵后所得到的矩阵的行列式：

${\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )}$

特征多项式是一个关于${\displaystyle \lambda }$的n次多项式，它的常数项是${\displaystyle \mathbf {A} }$的行列式的值，最高次项是${\displaystyle (-1)^{n}\lambda ^{n}}$，而接下来的n-1次项就是${\displaystyle (-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}}$，也就是说：

${\displaystyle P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}+\cdots +\det(\mathbf {A} )}$

当系数域是代数闭域时（否则可以将系数域扩展到其代数闭包上来看），特征多项式${\displaystyle P_{A}(\lambda )}$有n个根，它可以表达成：

${\displaystyle P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}(\lambda -r_{1})^{\alpha _{1}}(\lambda -r_{2})^{\alpha _{2}}\cdots (\lambda -r_{k})^{\alpha _{k}}}$

其中的${\displaystyle r_{1},r_{2}\cdots r_{k}}$是特征多项式的不同的根，而${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\cdots \alpha _{k}}$是这些根在特征多项式裡的重数，称为代数重数。显然，所有代数重数加起来等于n。一方面，特征多项式的根就是矩阵的特征值，而另一方面，借由根与多项式系数的关系可以知道：特征多项式的所有的根加起来等于矩阵的迹数。所以矩阵的迹数是矩阵的所有特征值（按照代数重数计算）的和[4]。

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\alpha _{1}r_{1}+\alpha _{2}r_{2}+\cdots +\alpha _{k}r_{k}}$

如果将矩阵写成它的若尔当标准型的话，也可以看出这一点，因为若尔当标准型的特征多项式的所有的根（包括重根）就是对角线上的所有元素。

如果不区分相同或不同的特征值的话，上述关系也可以写成：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}$

其中的${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}}$是矩阵的特征值。 而且有：

${\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ,\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{m})=\lambda _{1}^{m}+\lambda _{2}^{m}+\cdots +\lambda _{n}^{m}}$

• A是m×m矩阵时，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}={\mathbf {I} }_{m}}$
• m×m矩阵A可逆时，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-2})^{T}}$
• 对于两个向量x和y的外积，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {xy}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {yx}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\boldsymbol {y}}}$

• 若A为m×n矩阵，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} }$
• 若A为m×m矩阵，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{2})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} ^{T}}$

• 若A为m×n矩阵，B是m×n矩阵，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} }$
• 若A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} ^{T}}$
• 当A和B均为对称矩阵时，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} +\mathbf {B} ^{T}-diag(\mathbf {B} )}$

• 若A和B都是m×m矩阵，并且A是非奇异矩阵，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} ^{-1})^{T}}$