投票制度

不同投票制度有不同形式的選票。例如，在次序投票制裡，如同排序複選制和波達計數法，選民根據支持程度將選項排序。而在計分投票制（Range voting）裡，選民則給每個選項評分。在多數制（也稱「最高票者當選制」）中，選民只能選擇一個項目；而在認可投票制裡，選民可以選擇任何候選項目；而在累积选举制裡，選民可以投給同一個候選人許多票。

就算每個選民都投相同之票，每個政黨得數也一樣，還是可能在一種選舉制度下出現聯合政府或少數黨政府，而在另一種選舉制度下則是單一政黨控制大多數議席[1]^:8。其他投票制度的選票還有其他安排，例如選民可以寫下候選人的姓名，或者選民可以否決所有選項（如果成立，則選舉就必須從提名階段重新開始）。

許多選舉有「一人一票」（one man one vote）概念，即每名選民的選票有相同價值。然而，例如在公司的選舉裡，選票的價值通常依據投票者所持有的公司股份計算，變成「一股份一選票」。

在部分選舉中，選票的價值因應投票者的地位而定。而在特殊情況下，例如投票平手時，其中一名投票者獲特權再投一票以決定勝負。擁有這種特權的投票者可能原先並沒有投票權，例如美国参议院中，副总统一般情況下沒有投票權，他只能在議會投票平手時，才可以投票，所以實際上他那一票的價值是較一般選票為少。

選票份量和選票動員力不同，各人不一定是各自獨立行事，他們往往會組織起來共同投票。動員力高的投票團體，其成員投票選擇近乎一致（例如议会裡的政党），足以改變選舉結果。議會中政黨會組成聯盟以提升影響力。

有些制度鼓勵甚至促成政黨形成；有些制度則只允許個人參選[1]^:8。不少投票制度的要求比過半數更為嚴格，例如要求絕對多數才能改變現狀，最極端的例子是要求全體一致通過的制度。如果投票旨在決定是否接受新成員加入，否決新成員加入的選票稱為「黑球反對票」（Blackball）。

另一種改變現狀的機制，則要求參與投票人數符合法定最低人數要求。通常法定人數指參與投票人數，而不是投票支持的人數，但這種制度往往促使反對者以拒絕投票的方法，阻止會議達到法定人數。政黨制度之類型，特別是立法機關中政黨之數量和規模，很大程度上也受到選舉制度影響，甚至政黨內部紀律和凝聚力也不能例外：有些制度促使政黨內部派系鬥爭，使不同派別之間常常出現不一致，有些制度則鼓勵政黨統一發聲，壓制異己[1]^:8。

選舉通常為了選出多名立法機構成員。選舉可以不劃分選區，也可以由各自的選區選出代表。

以色列等國採用單一選區的制度來選出整個國會。而愛爾蘭、比利時等則將國家劃分為許多小型選區。美國、英國則採用單一獲勝者的制度。一些則採用單一選區兩票制，亦有將小型地區歸入大型選區的制度。

劃分選區和分配議席的方式可能會戲劇性地改變選舉結果。依據人口普查所得的人口數據，選區會依據改變了的比例來重新分配議席數目，而重新劃分選區則是重新調整選區界線。兩種過程都有可能改變選舉結果，因此都極具政治爭議。有時也可能被政治操作而導致選區劃分不公，稱為傑利蠑螈（Gerrymandering）。

最普及的單一獲勝者制度顯然是多數制（也稱為「最高票者當選制」、「相對多數決」、或「獲勝者全得」）。每個選民投給一個選項，取得最多選票的選項獲勝，即使沒有取得半數亦然。

認可投票制是另一種二元投票制的方法，選民可以投給每一個候選人，取得最多認可的候選人當選。

決賽投票制則以多回合的多數決選舉來確保當選者是由多數選出。前兩名決賽的投票是第二常用的選舉方法，假如沒有過半數的獲勝者出現，便由得票數前兩名的候選人再次決賽。淘汰決賽選舉會逐一淘汰名次最後的候選人，直到出現過半數為止。而消耗性決賽選舉不會淘汰候選人，因此選舉將不斷重複直到出現過半數為止。

隨機投票則是讓每個投票者投給一個選項，並隨機抽選一張選票來決定獲勝者。這種方法大多是用於在其他方法產生平手結果時決賽之用。

在典型的排序投票制裡，投票者依照喜好排列選項。

也稱優序投票制，這些方法讓選民自行依照喜好排序候選人。通常並不一定需要排序所有候選人：沒有排序的候選人通常計算為排序最低者。一些排序投票法也允許投票者將多重的候選人列為同一名次。

最常見的排序投票法是排序複選制（Instant-runoff voting，IRV），也稱「順位同票制」或「優序投票制」，投票者的排序扮演淘汰功能，而無須額外再投票淘汰。計算票數時淘汰最少被列為第一順位的選項。在接下來幾輪計票，那些第一順位已經被淘汰的選票所選擇的第二順位仍然有效。最少被選擇的選項在一輪接著一輪的計票中逐一淘汰，直到出現過半數的獲勝者為止，過程中所有選票在每一輪的計票中都會計算。

波打計數法（Borda Count）是較為簡單的排序投票法，每個選項藉由選票上的排序來取得積分，積分最高者獲勝。另一類似的方法是位置投票制。

孔多塞制（Condorcet voting），或稱雙序制，是以孔多塞準則衍生的投票制度。這種方法將每個選項與所有其他的選項成對比較，一次一個，而擊敗所有其他選項的選項便是贏家。只要一個選項在大多數選票上的位置高於另一個選項，那麼它便擊敗了那個選項。

這些方法通常稱孔多塞制，因為孔多塞準則確保了它們在大多數選舉中都能獲得一樣的結果，也就是有孔多塞贏家。不同孔多塞制之間的差別在於出現沒有選項被擊敗時的情況，意味著產生了一個選項之間不斷擊敗對方的循環，稱為孔多塞悖論。為了解決孔多塞悖論的循環，當沒有孔多塞贏家出現而選擇特定孔多塞版本來決定贏家的狀況稱為孔多塞完結法。

另一個簡單的孔多塞制是最大最小（Minimax）制：如果沒有選項沒被擊敗，那麼被最少選票擊敗的選項獲勝。近年來還有由馬庫斯·舒爾茨（Markus Schulze）設計的舒爾茨制，以及尼科勞斯·泰德曼（Nicolaus Tideman）設計的排列成雙制（Ranked Pairs），兩種方法都以達成眾多投票制度評價標準為目標。

在累积选举制裡，投票者自行分配票數給候選人。

計分制甚至比排序制更為靈活，但設計用來使用它們的方法並不多。每個投票者給每個選項評分，評分可用數字（如0至100）或甲／乙／丙／丁等「等級」。

在計分投票制裡，投票者給予每個選項數字分數，總和分數最高的選項獲勝。認可投票制或與能投票有時會使用0或1來表示認可與否，因此也可視為計分制的一種形式。

有研究认为记分制不容易选出极端的领导人，从而尽可能避免社会动荡。[2]

累积选举制則規定了一定的點數，由投票者自行配點。累積選舉制也常用於一些投票者權力不相等的投票中，例如依據股份採取「一張股票，一張選票」的公司投票。累積選舉制也用於選舉公司董事會成員等多重獲勝者的選舉。

計分投票制也可用於排序投票制，只要排序制裡允許選民排出同樣名次的選項。一些排序制假定選票上的名次都不相同，但一些投票者也可能會給兩個以上的候選項目相同的排名。

許多多重獲勝者選舉都只簡單地沿用單一獲勝者選舉的方法，而沒有依照明確的比率。在連記投票（Bloc voting）裡，每個選區分配N個應選議席，得票數最高的前N名當選。由於時常會有一些壓倒性的單一獲勝者出現，因此連記投票並非比例制的。另外兩種以多數決為基礎的類似方式是複數選區單記不可讓渡投票制和之前述及的累积选举制。與集團投票不同的是，在複數選區單記不可讓渡投票制或累積選舉制中，選民可能會採取配票或戰略提名的方式而達成比例的平衡。

雖然這兩種制度並沒有保證比例平衡，但選民投票行為可導致偏向比例的結果，也因此複數選區單記不可讓渡投票制和累積選舉制歸類為「半比例代表制」。其他可視為半比例制的方法還包括「混合制」—結合了普選與政黨提名名單的選舉，但得依其比例性而定，比例性高即使是混合制也會歸為比例代表制。

在2005年德国联邦选举各政黨贏得的議席，是採用聯立制的一例

真正的比例制則會以一些方式保證每個獲勝的候選人都代表著相同數量的選票。這數稱為配額。舉例而言，在一定的誤差範圍內，如果配額是1000張選票，那麼每個當選的候選人就代表著1000張選票的民意。

大多數的比例制都是採用政黨名單比例代表制，選民投給支持的政黨而非特定的候選人，依據政黨取得的選票配額數量分配議席。這些制度決定配額的方式也各有差異，相同的，在如何搭配選票數量和議席數量上的方式也有差異。而聯立制（Mixed Member Proportional，MMP）則以政黨名單搭配地區性選舉所選出的議席。

政黨名單可分為「開放名單」或「封閉名單」等，在開放名單制度，投票者能決定要投給政黨裡的哪個特定候選人。在封閉名單制度，議席則由政黨自行分派。

分配議席的方式可以分類為最高平均數法和最大餘額方法。最大餘額法以選票的數量設定特定的配額，而最高平均數法則直接除以選票的數量來決定配額。

與政黨名單制度相較，單記可讓渡投票制則是由選民依照喜好排列候選人的比例代表制。與政黨名單不同的是，單記可讓渡投票制並非取決於候選人的政黨，選票是經由和排序複選制類似的方法轉移，計票時會計算選票上所有排序。

自從前6世紀古希臘的雅典民主以來，投票制度一直是民主的必要特色。紀錄中最早的雅典投票之一是多數決的陶片放逐制—只不過在這種投票中的「當選」是負面性的，市民投票決定要驅逐哪個市民。歷史上大多數早期的民主都以多數決或類似的方式投票，不過也有例外，例如威尼斯在13世紀採取了現稱認可投票制的方法來選舉議會成員。[3]

讓-查理斯·波達是早期的投票理論家。

馬奎斯·孔多塞是另一個早期的投票理論家。

投票理論在法國大革命時期浮現成為學術界的一門研究領域[3]。讓-查理斯·波達（Jean-Charles de Borda）在1770年提出了波達計數法來選舉法國科學院（Académie des sciences）的成員。馬奎斯·孔多塞（Marquis de Condorcet）反對此制度，另外發明了一種成雙比對法，成為了今天的孔多塞制。

以前常將波達和孔多塞視為投票理論的創始人，不過最近的研究則顯示哲學家雷蒙·盧爾（Ramon Llull）早在13世紀便發現波達計數法和孔多塞標準，記載這些發現的手稿一直到2001年才發現。[4]

18世紀後期也開始研究有關劃分選區的議題。美國憲法規定眾議院必須依照各州人口分配議席，但卻沒有指定如何分配，因此開始了公平劃分選區的研究[5]。亞歷山大·漢彌爾頓（Alexander Hamilton）、托马斯·杰斐逊和丹尼爾·韋伯斯特（Daniel Webster）等政治家都提出了各種解決方案。美國一些分配方式後來也用在19世紀的歐洲，用以在新的政黨名單比例代表制裡劃分議席。

單記可讓渡投票制在1855年由丹麥數學家卡爾·安德烈（Carl Andræ）發明，英國的索瑪斯·黑爾（Thomas Hare）也在1857年發明了這種制度。1856年的丹麥選舉和1896年的塔斯馬尼亞都採用了單記可讓渡投票制。政黨名單比例代表制在20世紀初期於歐洲出現，用以選舉立法機構議員，第一個採用的是1900年的比利時。從那時開始，幾乎每個民主國家都採用了比例制或半比例制的方法，除了英國的前殖民地。[6]

或許是受到多重獲勝者制投票方法的快速發展所影響，19世紀時理論家也開始發表關於單一獲勝者制的新方法。這開始於1870年左右，William Robert Ware提議將單記可讓渡投票制的方法運用至單一獲勝者制的選舉，產生了排序複選制[7]很快地，數學家開始重新檢視孔多塞的概念，並發明了新的方法以達成孔多塞完結。Edward J. Nanson結合了新的排序複選制與波達計算法，創造出一種新的孔多塞方法。路易斯·卡羅發行了關於投票理論的小冊子，專門針對孔多塞的制度，他提出以矩阵來分析孔多塞選舉的方法，不過這些方法也是早在13世紀就在雷蒙·盧爾的手稿裡出現。他也提出了一種直接的孔多塞方法，稱為卡羅制。

排序投票制也取得了更多支持而得以運用在政府選舉裡。在澳洲，排序複選制在1893年首次採用，並一直維持到今天。在20世紀初期，美國許多市鎮開始採用巴克林投票制（Bucklin voting），但選民對產生的結果不滿，不久後巴克林投票制便棄用，明尼蘇達州亦宣布其違憲。[8]

自從约翰·冯·诺伊曼和其他人在1940年代將博弈论帶進數學領域後，有了新的數學工具能用以分析投票制度和投票的策略。這使得投票理論的領域產生重要的改變[3]。肯尼斯·约瑟夫·阿罗提出了阿羅不可能定理，證明在投票制度的評價裡，有些標準其實是互相矛盾的，也證明了投票定理的固有限制。阿羅的定理是早期投票理論最常引用的，也產生了進一步的重要理論，例如吉巴德-萨特斯维特定理，顯示在許多一般情況下，戰略投票是不可避免的現象。

運用博弈论來分析投票制度也使人發現了一些投票制度裡所帶來意外影響。杜偉傑法則（Duverger's law）便是這種例子之一，顯示了多數制經常會產生兩黨制的結果。

投票理論學界對於投票制度標準的研究就如同研究特定投票制度一樣重要。目前，要指出一個投票制度的優點或缺點都必須有數學定義的標準的支持。最近在投票理論的研究主要都集中於發明新的標準和方法，以符合特定的某些標準。

網際網路出現也增長了對投票理論的興趣，與其他數學領域不同的是，投票理論一般而言較為簡易，非專業的業餘人士也可以發現新的理論結果。也因此，最近許多關於投票理論的發現並非來自於出版的文件，而是來自業餘愛好者非正式的網路討論區和論壇之間。

對於投票制度的研究也促成了許多要求選舉改革的聲浪，要求以其他方式代替現行政府選舉採用的制度。許多美國的市鎮在2000年代開始採用排序複選制。紐西蘭在1993年的國會選舉裡採納了聯立制，並在2004年的一些地方選舉裡採用單記可讓渡投票制。加拿大的不列颠哥伦比亚省也將在2008年的第二次公民投票裡採用單記可讓渡投票制。某些非政府組織現在也採用一些更廣泛的投票制度。

• Election methods list （页面存档备份，存于） 一個討論投票方式的論壇。
• Electowiki （页面存档备份，存于） 一個專門研究投票理論的wiki。
• Evaluating Voting Methods 由Matt Corks
• Open Directory Project （页面存档备份，存于） 投票制度的種類
• OpenSTV （页面存档备份，存于） 以電腦軟體測試各種投票制度，包括IRV, STV, 和 Condorcet。
• Student's Social Choice （页面存档备份，存于） 由Alex Bogomolny以Java applet圖解各種方法。
• Voting, Arbitration, and Fair Division （页面存档备份，存于）（PDF）由Marcus Pivato。
• Voting methods: tutorial and essays 由James Green-Armytage
• Voting Systems （页面存档备份，存于）（PDF）由Paul E. Johnson. 概述投票方法和數學屬性的教科書。

• 與能投票制推廣官網（臺灣）（页面存档备份，存于） 是認可投票制的一種變形，並吸納了「以上皆非」的精神。
• Center for Range Voting *CRV simplified entry page
• Center for Voting and Democracy （页面存档备份，存于） 支持在美國使用IRV。
• condorcet.org （页面存档备份，存于） 支持孔多塞投票。
• May the Best Man Lose 對認可投票制和波達計算法的發現，由Dana Mackenzie。

• 选举的困境 - 美国北卡大学教授赵心树著,书中探讨了各种现行选举制度的优缺点并提出了几种接近完美的选举制度 （页面存档备份，存于）
• 選舉制度的分析和設計（PDF）位於德國Oberwolfach的數學研究組織研究班。
• Analysis of Democratic Institutions: Structure, Conduct and Performance（PDF）Roger B. Myerson的文章，分析投票制度的經濟性。
• PhD研究班在Choice Theory （页面存档备份，存于）（PDF）由Robert Nau。
• Common Voting Rules as Maximum Likelihood Estimators （页面存档备份，存于）（PDF）由Vincent Conitzer和Tuomas Sandholm。
• A New Monotonic and Clone-Independent Single-Winner Election Method（PDF）由Markus Schulze（mirror1, mirror2 （页面存档备份，存于））。介紹舒爾茨制。
• Hybrid Voting Protocols and Hardness of Manipulation（PDF）由Edith Elkind和Helger Lipmaa。
• On the impact of indifferent voters on the likelihood of some voting paradoxes（PDF）由Vincent Merlin和Fabrice Valognes。
• In Praise of Manipulation（PDF）由Martin van Hees和Keith Dowding. 從倫理觀點分析戰略投票。
• Universal voting protocol tweaks to make manipulation hard （页面存档备份，存于）（PDF）由Vincent Conitzer和Tuomas Sandholm。
• Voting by Adaptive Agents in Multi-candidate Elections（PDF）由Scott Moser。