有理数

在数学中，有理数（rational number）的定义是：可以表示为两个整数比的数；此处的整数比写为分数形式 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, ${\displaystyle b\neq 0}$。例如：0.375 可以表示为 ${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$，因此 0.375 是有理数，当然 ${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$ 本身也是有理数。

按上述有理数定义，可知整数和整数分数统称有理数；而与有理数相對的是无理数，不是有理數的實數遂稱為無理數；例如 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$无法用整数比表示，因此 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是无理数。

並非所有以分數表示的數字皆為有理數，例如 ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 並不是有理數，其不符合可表示为整数比的定义。

所有有理数構成的集合常寫作 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$，其定义為：

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}$

有理数寫作小数時，其小数部分为有限或为循环。

有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。^[1]代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。^[2][3]

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的（其中除法的除數不能為 0），亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$

两个有理数 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 和 ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ 相等的充要條件為 ${\displaystyle ad=bc}$。

有理数中存在加法反元素與乘法反元素（除了 0 以外，0 不具乘法反元素）：

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0}$时，${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}$

两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘。

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

${\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}}$

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上${\displaystyle \left(a,b\right)}$的等价类，这里${\displaystyle b,d}$不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

${\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)}$

${\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}$

为了使${\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$，定义等价关系${\displaystyle \sim }$如下：

${\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc}$

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将${\displaystyle \mathbf {Q} }$定义为整数有序对关于等价关系~的商集：${\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim }$。例如：两个对${\displaystyle (a,b)}$和${\displaystyle (c,d)}$是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

${\displaystyle \mathbf {Q} }$上的大小可以定义为：

${\displaystyle \left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)}$当且仅当下列任一條件成立：

1. ${\displaystyle bd>0}$并且${\displaystyle ad\leq bc}$
2. ${\displaystyle bd<0}$并且${\displaystyle ad\geq bc}$

然後${\displaystyle x<y}$是指${\displaystyle x\leq y}$但${\displaystyle y\nleq x}$。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：${\displaystyle a<b}$当且仅当${\displaystyle b>a}$。此排序中，每一对有理数${\displaystyle a,b}$之间皆可比較，必有且仅有以下关系之一：

${\displaystyle a=b}$，${\displaystyle a>b}$，${\displaystyle a<b}$。

又滿足传递性：若${\displaystyle a<b}$，且${\displaystyle b<c}$，则${\displaystyle a<c}$。所以以上定義的大小關係是全序关系。

有理數集的序還滿足稠密性：若${\displaystyle a<b}$，则必存在有理数${\displaystyle c}$，满足${\displaystyle a<c}$，且${\displaystyle c<b}$。^[4]

集合${\displaystyle \mathbb {Q} }$，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一个拷贝（即存在一个从${\displaystyle \mathbb {Q} }$到其中的同构映射）。

${\displaystyle \mathbb {Q} }$的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是說${\displaystyle \mathbb {Q} }$的基數（或勢）與自然數集合${\displaystyle \mathbb {N} }$相同，都是阿列夫數${\displaystyle \aleph _{0}}$，這是因為可以定義一個從有理數集${\displaystyle \mathbb {Q} }$映至自然數集合的笛卡爾積${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$的單射函數，而${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个稠密序：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托爾同構定理說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量${\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|}$，有理数构成一个度量空间，这是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的完备集。

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将${\displaystyle \mathbb {Q} }$转化到拓扑域：

设${\displaystyle p}$是素数，对任何非零整数${\displaystyle a}$设${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}$，这里${\displaystyle p^{n}}$是整除${\displaystyle a}$的${\displaystyle p}$的最高次幂；

另外${\displaystyle |0|_{p}=0}$。对任何有理数${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$，设${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}$。

则${\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}$在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上定义了一个度量。

度量空间${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}$不完备，它的完备集是p进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。

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