欧几里得几何
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欧几里得几何（英語：Euclidean geometry）指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。
欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即平面几何，本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何，高维的情形请参看欧几里得空间。
数学上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何，基于點線面公設。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利數學家波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即非歐幾何（non-Euclidean geometry）。
欧几里得几何是数学中最古老的分支之一，其历史可追溯至古希腊时期。欧几里得的《几何原本》在两千余年间一直被用作标准教科书，对西方数学和科学的发展产生了深远影响。[1] 现代数学中，欧几里得几何不仅指《几何原本》所描述的古典几何体系，也包括通过解析几何和线性代数方法建立的一般欧几里得空间理论。
历史
古希腊数学在古典时期取得了辉煌成就。欧几里得（约公元前300年）在亚历山大港撰写了《几何原本》（Στοιχεῖα），将当时已知的几何知识组织成一个严密的公理系统。《原本》共十三卷，包含五条公设、五条一般概念和数百条命题，涵盖平面几何、数论、无理量和立体几何等内容。[1]
《原本》在历史上通过多种途径传播。阿拉伯学者在阿拔斯王朝时期将其翻译为阿拉伯语，后者在12世纪被译为拉丁文传入欧洲。文艺复兴之后，《原本》成为欧洲教育体系中的标准数学教材，其公理化方法深刻影响了牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等著作。[2]
19世纪，非欧几里得几何的发现动摇了欧几里得几何作为物理空间唯一真理的地位。高斯、罗巴切夫斯基和波约各自独立地构造了满足前四条公设但否定第五公设的几何体系，证明平行公设独立于其他公理。[3] 此后，黎曼、克莱因和希尔伯特等数学家对几何基础进行了更深入的研究，形成了现代几何学的丰富体系。
公理描述
欧几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的真命题。
欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：
- 从一點向另一點可以引一条直线。
- 任意线段能无限延伸成一条直线。
- 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
- 所有直角都相等。
- 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：
| “ | 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 | ” |
平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不能被证明的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何）。
从另一方面讲，欧几里得几何的五条公理（公设）并不完备。例如，该几何中的定理：在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理。
欧几里得还提出了五个一般概念，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
- 与同一事物相等的事物相等。
- 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
- 相等的事物减去相等的事物仍然相等。
- 一个事物与另一事物重合，则它们相等。
- 整体大于局部。
现代方法
如今，欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何（或非欧几里得几何）中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。
- 构造
首先，定义点的集合为实数对的集合。给定两个点和，定义距离：
- .
这就是欧几里得度量。所有其他概念，如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点和的直线可以定义成点的集合满足
- 或。
经典定理
应用
欧几里得几何在科学和工程中有着广泛的应用。在物理学中，经典力学假设物理空间是三维欧几里得空间，牛顿运动定律在此框架下成立。在工程学中，解析几何方法被用于计算机辅助设计（CAD）、结构分析和机器人运动规划。在计算机图形学中，三维空间的几何变换（平移、旋转、缩放）通过线性代数和欧几里得变换实现。[4]
在建筑学中，欧几里得几何提供了空间设计的基本语言，从古典建筑的柱式比例到现代建筑的模块化设计均以其为基础。在导航和测量学中，三角测量等方法的理论基础正是欧几里得几何中的三角形定理。
与其他几何的关系
欧几里得几何是更广泛的度量几何的特例。若移除或修改平行公设，则可得到非欧几里得几何。双曲几何（罗巴切夫斯基几何）满足前四条公设但假设通过直线外一点有无数条平行线；椭圆几何（黎曼几何）则假设不存在平行线。在双曲几何中，三角形内角和小于180度；在椭圆几何中，三角形内角和大于180度。[3]
此外，射影几何研究图形在投影变换下保持不变的性质；微分几何将欧几里得几何推广到弯曲空间。这些几何体系与欧几里得几何共同构成了现代数学的几何学图景。[5]
参见
参考文献
- ^ 1.0 1.1 Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements 2nd. Dover Publications. 1956. ISBN 978-0486600888 （英语）.
- ^ Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction 3rd. Addison-Wesley. 2008. ISBN 978-0321387004 （英语）.
- ^ 3.0 3.1 Greenberg, Marvin J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History 4th. W. H. Freeman. 2008. ISBN 978-0716799481 （英语）.
- ^ Foley, James D.; van Dam, Andries; Feiner, Steven K.; Hughes, John F. Computer Graphics: Principles and Practice 2nd. Addison-Wesley. 1996. ISBN 978-0201848403 （英语）.
- ^ Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry 2nd. Wiley. 1969. ISBN 978-0471504580 （英语）.
