卜瓦松分布

泊松分布

概率质量函數 横轴是索引k，发生次数。该函数只定义在k为整数的时候。连接线是只为了指导视觉。
累積分布函數 横轴是索引k，发生次数。CDF在整数k处不连续，且在其他任何地方都是水平的，因为服从泊松分布的变量只针对整数值。
参数	λ > 0（实数）
值域	${\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\cdots \}}$
概率质量函数	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}$
累積分布函數	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}}$，或${\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\ }$，或${\displaystyle Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}$ (对于${\displaystyle k\geq 0}$，其中${\displaystyle \Gamma (x,y)}$是不完全Γ函数，${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$是高斯符号，Q是规则化Γ函数)
期望值	${\displaystyle \lambda }$
中位數	${\displaystyle \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }$
方差	${\displaystyle \lambda }$
偏度	${\displaystyle \lambda ^{-1/2}}$
峰度	${\displaystyle \lambda ^{-1}}$
熵	${\displaystyle \lambda [1-\log(\lambda )]+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}}$ （假设${\displaystyle \lambda }$较大） ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-}$ ${\displaystyle \qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$
矩生成函数	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))}$
特徵函数	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))}$
概率母函数	${\displaystyle \exp(\lambda (z-1))}$

泊松分布（法語：loi de Poisson；英語：Poisson distribution）又稱Poisson分布、帕松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小數法則（Poisson law of small numbers），是一種統計與概率學裡常見到的離散機率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、雷射的光子數分布等等。（單位時間內發生的次數，可以看作事件發生的頻率，類似物理的頻率${\displaystyle f}$）。

泊松分布的機率質量函数为：

${\displaystyle P(X=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$

泊松分布的参数${\displaystyle \lambda }$是随机事件发生次数的数学期望值。

若${\displaystyle X}$服从参数为${\displaystyle \lambda }$的泊松分布，记为${\displaystyle X\sim \pi (\lambda )}$，或记为${\displaystyle X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )}$.

如果以下假设成立，则适用泊松分布：

1. k是一个非负整数，是某个事件在某个时间间隔内发生的次数。
2. 一个事件的发生不会影响第二个事件的概率。
3. 事件发生的平均速率与任何事件的发生无关。
4. 两个事件不可能在同一时刻发生。

如果这些条件成立，则k是泊松随机变量；k的分布是泊松分布。

1. 服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数${\displaystyle \lambda }$ : ${\displaystyle E(X)=V(X)=\lambda }$
2. 兩個獨立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精確地說，若 ${\displaystyle X\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1})}$且 ${\displaystyle Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{2})}$，則${\displaystyle X+Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（Raikov定理）。
3. 其動差母函數为：

${\displaystyle M_{X}(t)=E[e^{tX}]=\sum _{x=0}^{\infty }e^{tx}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {({e^{t}}\lambda )^{x}}{x!}}=e^{{\lambda }(e^{t}-1)}}$

期望值：(倒數第三至第二是使用泰勒展開式)

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X)&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle iP(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }\\&=\lambda \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X^{2})&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle i^{2}P(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i^{2}{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {i\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {1 \over (i-1)!}{d \over d\lambda }(\lambda ^{i})\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\lambda \sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }(\lambda e^{\lambda })=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}\end{aligned}}}$

我們可以得到：${\displaystyle Var(X)=(\lambda +\lambda ^{2})-\lambda ^{2}=\lambda }$

如同性質：${\displaystyle E(X)=Var(X)=\lambda }$、${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\lambda }}}$

相互獨立的卜瓦松分佈隨機變數之和仍服從卜瓦松分佈：

${\displaystyle X\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1}),Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{2}).}$

${\displaystyle P(X=k_{1})={\dfrac {\lambda _{1}^{k_{1}}e^{-\lambda _{1}}}{k_{1}!}},P(Y=k_{2})={\dfrac {\lambda _{2}^{k_{2}}e^{-\lambda _{2}}}{k_{2}!}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X+Y=k)&=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)\\&=\sum _{i=0}^{k}{\frac {\lambda _{1}^{i}\lambda _{2}^{k-i}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{i!(k-i)!}}\\&={\frac {e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{k!}}\sum _{i=0}^{k}C_{k}^{i}\lambda _{1}^{i}\lambda _{2}^{k-i}\\&={\frac {e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{k}}{k!}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle X+Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$

在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数${\displaystyle n}$很大，二项分布的概率${\displaystyle p}$很小，且乘积${\displaystyle \lambda =np}$比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散時間上的对应物。

证明如下。首先，回顾自然對數${\displaystyle e}$的定义：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda },}$

二项分布的定义：

${\displaystyle P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$。

如果令${\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}}$， ${\displaystyle n}$趋于无穷时${\displaystyle P}$的极限：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]} _{F}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\ldots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)\right]} _{\to 1}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\exp \left(-\lambda \right)\end{aligned}}}$

给定${\displaystyle n}$个样本值${\displaystyle k_{i}}$，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数${\displaystyle \lambda }$的估计。为计算最大似然估计值，列出对数似然函数：

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}L(\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$

解得λ从而得到一个驻点（stationary point）：

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!}$

检查函数${\displaystyle L}$的二阶导数，发现对所有的${\displaystyle \lambda }$与${\displaystyle k_{i}}$大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数${\displaystyle L}$的极大值点：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}-\lambda ^{-2}k_{i}}$

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到${\displaystyle \lambda }$的估计为${\displaystyle {\frac {81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}}\approx 0.87}$。

一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由高德纳给出（见下文参考）：

algorithm poisson random number (Knuth):
    init:
         Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
    do:
         k ← k + 1.
         Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u.
    while p > L.
    return k − 1.

尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值${\displaystyle k}$，平均是${\displaystyle \lambda }$。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的${\displaystyle \lambda }$值，${\displaystyle e^{-\lambda }}$可能导致数值稳定性问题。对于较大${\displaystyle \lambda }$值的一种解决方案是拒绝采样，另一种是采用泊松分布的高斯近似。

对于很小的${\displaystyle \lambda }$值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过${\displaystyle u}$的样本，才需要检查累积概率。

algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search:[1]
    init:
         Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p.
         Generate uniform random number u in [0,1].
    do:
         x ← x + 1.
         p ← p * λ / x.
         s ← s + p.
    while u > s.
    return x.

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