联合分布

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在概率论中, 对定义在相同样本空间^[1]的两个随机变量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$，其联合分布是同时对于${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的概率分布。

对离散随机变量而言，联合分布概率质量函数为${\displaystyle Pr(X=x\,\&\,Y=y)}$，即

${\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;}$

因为是概率分布函数，所以必须有

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;}$

类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$，其中${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)}$和${\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}$分别代表${\displaystyle X=x}$时${\displaystyle Y}$的条件分布以及${\displaystyle Y=y}$时${\displaystyle X}$的条件分布；${\displaystyle f_{X}(x)}$和${\displaystyle f_{Y}(y)}$分别代表${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的边缘分布。

同样地，因为是概率分布函数，所以必须有

$${\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}$$

對於兩相互獨立的事件${\displaystyle P(X)}$及${\displaystyle P(Y)}$，任意x和y而言有离散随机变量${\displaystyle \ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}$，或者有连续随机变量${\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}$。

2元联合分布可以推广到任意多元的情况${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}$

• 耦合 (概率)

• Joint continuous density function. PlanetMath. 

1. ^ Feller, William. An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition. 1957: 217–218. ISBN 978-0471257080 （Eng）.  请检查|access-date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)