狄拉克符号

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量子力学
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ 薛定谔方程
入门 术语 历史
背景 经典力学 舊量子論 狄拉克符号 哈密顿算符 干涉
基本原理 互补 退相干 纠缠 能级 测量 非局域性 量子数 量子態 态叠加原理 对称性 量子穿隧效應 不确定性 波函数 波函数坍缩
实验 貝爾定理的實驗驗證 戴維森-革末實驗 雙縫實驗 伊利澤-威德曼炸彈測試問題 法蘭克-赫茲實驗 Leggett-Garg不平等现象 馬赫-曾德爾干涉儀 波普尔实验 量子擦除實驗 延遲選擇 薛定谔猫 施特恩-格拉赫实验 惠勒延迟选择实验
表述 概览 海森堡繪景 相互作用繪景 矩陣力學 相空间表述 薛丁格繪景 路徑積分表述
方程 狄拉克方程式 克莱因-戈尔登方程 包立方程式 里德伯公式 薛定谔方程
诠释 概览 量子贝叶斯主义 一致性历史 哥本哈根詮釋 德布罗意-玻姆理论 系綜詮釋 隱變量理論 局部隐变量 多世界诠释 客觀坍縮理論 量子逻辑 關係性量子力學 交易詮釋
高阶 相对论量子力学 量子场论 量子信息科学 量子计算 量子混沌 密度矩陣 散射理论 量子统计力学 量子機器學習
科学家 阿哈罗诺夫 貝爾 贝特 布莱克特 布洛赫 玻姆 玻尔 玻恩 玻色 德布罗意 康普顿 狄拉克 戴维孙 德拜 埃伦费斯特 爱因斯坦 艾弗雷特三世 福克 费米 費曼 格劳伯 古茨威勒 海森堡 希尔伯特 约尔旦 克喇末 泡利 兰姆 朗道 劳厄 莫塞莱 密立根 昂內斯 普朗克 拉比 拉曼 里德伯 薛定谔 米歇尔·西蒙斯 索末菲 冯·诺伊曼 外尔 维恩 维格纳 塞曼 蔡林格

狄拉克符号或狄拉克標記（英語：Dirac notation）是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的態向量，定义为右矢（ket）：${\displaystyle |\psi \rangle }$；每一个右矢的共軛轉置定义为其左矢（bra）；换一种说法，右矢的厄米共轭（即取转置运算加上共轭复数运算），就可以得到左矢。

此標記法為狄拉克於1939年将「bracket」（括号）这个词拆开后所造的。^[1]在中國大陸方面，一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”、或“彳矢”和“亍矢”，现已弃用。

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\\\vdots \\\psi _{N}\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*},&\psi _{2}^{*},&\psi _{3}^{*},&\psi _{4}^{*},&\cdots ,&\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$

不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$ （${\displaystyle \delta _{ij}}$为克罗内克函數）

相同的态矢量内积为：${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}}$。

因為每個右矢是複希爾伯特空間中的一個向量，而每個右矢-左矢關係是內積，而直接地可以得到如下的操作方式：

• 給定任何左矢${\displaystyle \langle \phi |}$、右矢${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$以及${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$，還有複數c₁及c₂，則既然左矢是線性泛函，根據線性泛函的加法與純量乘法的定義，

${\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle }$。

• 給定任何右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$、左矢${\displaystyle \langle \phi _{1}|}$以及${\displaystyle \langle \phi _{2}|}$，還有複數c₁及c₂，則既然右矢是線性泛函，

${\displaystyle {\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle }$。

• 給定任何右矢${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$及${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$，還有複數c₁及c₂，根據內積的性質（其中c*代表c的複數共軛），

${\displaystyle c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle }$與${\displaystyle c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|}$對偶。

• 給定任何左矢${\displaystyle \langle \phi |}$及右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$，內積的一個公理性質指出

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*}}$。

• 給定任何算符${\displaystyle X}$、左矢${\displaystyle \langle \phi |}$及右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$，它們之間的合法相乘滿足乘法結合公理，例如，^{[2]: 16–17}

${\displaystyle (|\omega \rangle \langle \phi |)\ |\psi \rangle =|\omega \rangle \ (\langle \phi |\psi \rangle )}$、

${\displaystyle \langle \phi |\ (X|\psi \rangle )=(\langle \phi |X)\ |\psi \rangle }$。

• 量子態
• 内积空间
• 角動量圖